Schnittpunkt zweier G-Scharen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 So 20.03.2011 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | | Gegeben sind die Punkte O(0/0/0), B(0/1/0), [mm] P_{a}(a/0/a) [/mm] und [mm] Q_{a}(1-2a/a/a) [/mm] mit a [mm] \in \IR. [/mm] Für welchen Wert von a besitzen die Geradenscharen [mm] g_{a} [/mm] durch B und [mm] P_{a} [/mm] sowie [mm] h_{a} [/mm] durch O und [mm] Q_{a} [/mm] einen Schnittpunkt? Berechne die Koordinaten dieses Schnittpunktes S! |
[mm] g_{a}=\vektor{0\\1\\0}+\lambda\vektor{a\\-1\\a}
[/mm]
[mm] h_{a}=\mu\vektor{1-2a\\a\\a}
[/mm]
[mm] g_{a}=h_{a}
[/mm]
[mm] \lambda\vektor{a\\-1\\a}-\mu\vektor{1-2a\\a\\a}=\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
LGS:
[mm] a\lambda-\mu+2a\mu=0
[/mm]
[mm] -\lambda-a\mu=1
[/mm]
[mm] a\lambda-a\mu=0 [/mm] => [mm] \lambda=\mu
[/mm]
[mm] a\mu-\mu+2a\mu=0
[/mm]
[mm] -a\mu-a\mu=0
[/mm]
[mm] 3a\mu-\mu=0
[/mm]
0=0 (w)
[mm] \mu(3a-1)=0 [/mm] => 3a=1 <=> [mm] a=\bruch{1}{3}
[/mm]
Ist das bis dahin alles richtig?
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Halloi Amicus,
> Gegeben sind die Punkte O(0/0/0), B(0/1/0), [mm]P_{a}(a/0/a)[/mm]
> und [mm]Q_{a}(1-2a/a/a)[/mm] mit a [mm]\in \IR.[/mm] Für welchen Wert von a
> besitzen die Geradenscharen [mm]g_{a}[/mm] durch B und [mm]P_{a}[/mm] sowie
> [mm]h_{a}[/mm] durch O und [mm]Q_{a}[/mm] einen Schnittpunkt? Berechne die
> Koordinaten dieses Schnittpunktes S!
> [mm]g_{a}=\vektor{0\\1\\0}+\lambda\vektor{a\\-1\\a}[/mm]
> [mm]h_{a}=\mu\vektor{1-2a\\a\\a}[/mm]
>
> [mm]g_{a}=h_{a}[/mm]
>
> [mm]\lambda\vektor{a\\-1\\a}-\mu\vektor{1-2a\\a\\a}=\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>
>
> LGS:
> [mm]a\lambda-\mu+2a\mu=0[/mm]
> [mm]-\lambda-a\mu=1[/mm]
> [mm]a\lambda-a\mu=0[/mm] => [mm]\lambda=\mu[/mm]
Hier hast Du 2 Fälle: i) a=0, ii) [mm]\lambda=\mu[/mm]
>
> [mm]a\mu-\mu+2a\mu=0[/mm]
> [mm]-a\mu-a\mu=0[/mm]
>
> [mm]3a\mu-\mu=0[/mm]
> 0=0 (w)
>
> [mm]\mu(3a-1)=0[/mm] => 3a=1 <=> [mm]a=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Ist das bis dahin alles richtig?
>
Dieser Fall ist richtig behandelt worden. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hier wiederum für [mm]\lambda=\mu[/mm] zwei Unterfälle:
1) [mm]\mu=0[/mm]
2) 3a-1=0
Den Fall 3a-1=0 hast Du schon behandelt.
Die anderen Fälle sind noch zu behandeln.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 So 20.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Als Schnittpunkt ergibt sich dann S(0,25/0,25/0,25) was sich mit der Musterlösung deckt!
Danke
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