Schnittpunkt Winkelhalbierende < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Di 10.06.2008 | | Autor: | Casandra |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass sich die Winkelhalbierenden in einem Punkt schneiden. |
Ich weiß ja das BA und BC linear unabhängig sind. Kann dann aber nicht darauf schließen, dass die Richtungsvektoren von den Winkelhalbierenden auch linear unabhängig sind, weil diese ja nicht senkrecht auf den Seiten stehen.
Zunächst muss ich ja zeigen, dass sich zwei schneiden und daraufhin das die dritte auch durch den Schnittpunkt W geht.
Fälle ich vielleicht ein Lot von W auf AB so dass ich ein rechtwinkliges Dreieck bekomme. Aber dann kann ich ja nicht sagen das AW = BW .
Sehe irgendwie nicht wo ich hier anfangen muss.
Oder stelle ich einfach die Geradengleichung der Winkelhalbierenden auf? Weiß einfach nicht weiter....
Liebe Grüße Caroline
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Di 10.06.2008 | | Autor: | LazaruZ |
> Zeigen Sie, dass sich die Winkelhalbierenden in einem Punkt
> schneiden.
> Ich weiß ja das BA und BC linear unabhängig sind. Kann
> dann aber nicht darauf schließen, dass die
> Richtungsvektoren von den Winkelhalbierenden auch linear
> unabhängig sind, weil diese ja nicht senkrecht auf den
> Seiten stehen.
ich nehme mal an, dass es um ein dreieck geht oder ?!
> Zunächst muss ich ja zeigen, dass sich zwei schneiden und
> daraufhin das die dritte auch durch den Schnittpunkt W
> geht.
> Fälle ich vielleicht ein Lot von W auf AB so dass ich ein
> rechtwinkliges Dreieck bekomme. Aber dann kann ich ja nicht
> sagen das AW = BW .
> Sehe irgendwie nicht wo ich hier anfangen muss.
> Oder stelle ich einfach die Geradengleichung der
> Winkelhalbierenden auf? Weiß einfach nicht weiter....
es ist vielleicht nicht der schnellste weg, aber das wäre mein vorschlag an dich gewesen! du plazierst das dreieck in ein koordinatensystem und bestimmst anhand der eckpunkte und innenwinkel im bezug auf die lage zur x- und y-achse die geradengleichungen. dann brauchst du nur noch den schnittpunkt von von jeweils zwei halbierenden bestimmen und wenn der in beiden fällen gleich ist hast du "gewonnen" :)
> Liebe Grüße Caroline
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
grüße laza
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Di 10.06.2008 | | Autor: | Casandra |
Oh ja habe ich vergessen. Es geht um ein Dreieck. Sorry!
Mmh, mir ist nicht klar wie ich mithilfe der Winkel die Gleichung aufstellen kann. Wir haben nur die Forml für den Winkel zwischen zwei Vektoren:
[mm] \alpha [/mm] = arccos * [mm] (\bruch{\overrightarrow {a}* \overrightarrow {b}}{\overrightarrow{|a|}\overrightarrow{|b|}}). [/mm]
Aber damit kann ich dann nicht umgehen.
(W soll der Schnittpunkt der Winkelhablbierenden sein. [mm] \overrightarrow{W_{BC}} [/mm] ist der Schnittpunkt mit der Seite [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{w_{BC}} [/mm] ist die Winkelhalbierende).
Ich kann doch auch die Geradengleichung von [mm] \overrightarrow{AW_{BC}} [/mm] folgendermaßen aufstellen:
[mm] w_{BC}: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{a}+ [/mm] r * [mm] \overrightarrow{AW_{BC}} [/mm] und
[mm] w_{AB}: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{c}+ [/mm] s * [mm] \overrightarrow{CW_{AB}}.
[/mm]
Aber wenn ich die jetzt gleichsetze komme ich nicht weiter.
Man kann ja noch [mm] \overrightarrow{AW_{BC}} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CW_{AB}} [/mm] durch [mm] \overrightarrow{AW} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CW} [/mm] tauschen, da W ja auf den Geraden liegt.
Kann man dies so auch beweisen? Kann mit den Winkeln irgendwie nichts anfangen oder ich habe es einfachn icht verstanden ;-(
Trotzdem schonmal vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Mi 11.06.2008 | | Autor: | LazaruZ |
> Oh ja habe ich vergessen. Es geht um ein Dreieck. Sorry!
kein problem! ich dachte es mir ja schon....der kopf ist ja nicht nur zum haarekämmen da ;)
> Mmh, mir ist nicht klar wie ich mithilfe der Winkel die
> Gleichung aufstellen kann. Wir haben nur die Forml für den
> Winkel zwischen zwei Vektoren:
> [mm]\alpha[/mm] = arccos * [mm](\bruch{\overrightarrow {a}* \overrightarrow {b}}{\overrightarrow{|a|}\overrightarrow{|b|}}).[/mm]
> Aber damit kann ich dann nicht umgehen.
du hast doch nicht nur einen winkel, sondern auch die länge des vektors. jetzt gibst du dir einfach eine belibige koordinate (z.b. von A 0/0 o.ä.) vor und bestimmst mit hilfe der zerlegung des vektors in den sinus- und kosinusanteil die koordinaten für B und C. jetzt musst du nur noch darauf achten, in welchem quadranten du dich befindest.
da es der winkel zwischen beiden vektoren ist musst du zuerst aus den koordinaten die steigung bestimmen (= lage des vektors zu den achsen im koordinatensystem). wie du die fehlenden winkel bestimmen kannst kannst du dir evtl an meiner (hoffentlich) hochgeladenen skizze klarmachen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
wie man aus 2 punkten einer gerade die gleichung bestimmt weiß du ja sicherlich und dannach machst du das gleiche für die winkelhalbierenden. ist halt ein haufen rechnerei aber eben nicht so kompliziert, weswegen es auch meine empfohlene methode ist.....
> (W soll der Schnittpunkt der Winkelhablbierenden sein.
> [mm]\overrightarrow{W_{BC}}[/mm] ist der Schnittpunkt mit der Seite
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] und [mm]\overrightarrow{w_{BC}}[/mm] ist die
> Winkelhalbierende).
>
> Ich kann doch auch die Geradengleichung von
> [mm]\overrightarrow{AW_{BC}}[/mm] folgendermaßen aufstellen:
> [mm]w_{BC}: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{a}+[/mm] r *
> [mm]\overrightarrow{AW_{BC}}[/mm] und
> [mm]w_{AB}: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{c}+[/mm] s *
> [mm]\overrightarrow{CW_{AB}}.[/mm]
>
> Aber wenn ich die jetzt gleichsetze komme ich nicht weiter.
> Man kann ja noch [mm]\overrightarrow{AW_{BC}}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{CW_{AB}}[/mm] durch [mm]\overrightarrow{AW}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{CW}[/mm] tauschen, da W ja auf den Geraden
> liegt.
> Kann man dies so auch beweisen? Kann mit den Winkeln
> irgendwie nichts anfangen oder ich habe es einfachn icht
> verstanden ;-(
>
> Trotzdem schonmal vielen Dank!
>
>
>
ps: aus irgent einem grund finde ich mal wieder keine möglichkeit eine datei anzuhängen :(
zum glück doch noch gefunden :)
gute nacht
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:16 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Casandra |
Vielen dank für die ausführliche Antwort.
Habe das noch nie gemacht, werde jetzt mal mein Glück probieren und mit deinen Angben versuchen die Geradengleichungen aufzustellen.
Schönen Tag,
liebe Grüße Casandra
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Hallo Casandra,
eine der wichtigsten Eigenschaften der Winkelhalbierenden
ist folgende:
Ein Punkt P liegt dann (und nur dann) auf der Winkel-
halbierenden, wenn er von den beiden Schenkeln des
Winkels gleichen Abstand hat.
Nun schaust du dir das im Dreieck ABC an:
Die Winkelhalbierende [mm] w_{\alpha} [/mm] enthält alle Punkte,
welche von den Seiten c=AB und b=AC gleichen Abstand
haben. Ebenso enthält [mm] w_{\beta} [/mm] genau die Punkte,
die von a=BC den gleichen Abstand haben wie von c=AB.
[mm] w_{\alpha} [/mm] und [mm] w_{\beta} [/mm] schneiden sich in genau einem
Punkt I . Dieser Punkt hat also den gleichen Abstand von a
und c (weil I [mm] \in w_{\beta}), [/mm] aber auch von b (weil I [mm] \in w_{\alpha}).
[/mm]
I ist also auch von a und b gleich weit entfernt und liegt
deshalb auch auf der dritten Winkelhalbierenden [mm] w_{\gamma}).
[/mm]
Die drei Winkelhalbierenden schneiden sich also in dem einzigen
Punkt I ( I ist übrigens der Inkreismittelpunkt !)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Casandra |
Danke für deine Antwort. So habe ich dies auch erst gezeigt, aber weiß nicht ob das so ausreichend ist, weil wir das eigentlich mit Vektoren zeigen müssen.
Deswegen versuche ich es grade über die Winkel.
Reicht das anderen denn aus? Weil dann geht es ja auf jeden fall schneller.
Liebe Grüße
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> Danke für deine Antwort. So habe ich dies auch erst
> gezeigt, aber weiß nicht ob das so ausreichend ist, weil
> wir das eigentlich mit Vektoren zeigen müssen.
>
> Deswegen versuche ich es grade über die Winkel.
> Reicht das anderen denn aus? Weil dann geht es ja auf
> jeden fall schneller.
>
> Liebe Grüße
hi Casandra,
naja, ob das in deiner Situation ausreicht, das kann
ich nicht beurteilen
Mir scheint dieser Beweis mit den Abständen der
geometrisch einfachste und anschaulichste zu sein.
Wenn ein vektorieller Beweis gefragt ist, geht es
nicht so leicht, wie du schon erfahren hast... und es
gibt dazu sicher viele mögliche Wege.
Eventuell könnte man aber den "einfachen" Beweis
auch in ein "vektorielles Kleid" stecken - indem
man z.B. den Schnittpunkt von [mm] w_{\alpha} [/mm] und [mm] w_{\beta}
[/mm]
mit S bezeichnet, die Lotvektoren [mm] \overrightarrow{SU}, \overrightarrow{SV}, \overrightarrow{SW},
[/mm]
auf die Seiten fällt (U [mm] \in [/mm] a , V [mm] \in [/mm] b , W [mm] \in [/mm] c) und dann von
deren Beträgen spricht und zeigt, dass S auch auf [mm] w_{\gamma}
[/mm]
liegen muss...
Ob du damit die Lehrperson zufrieden stellen kannst,
weiss ich nicht.
Al-Chw.
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