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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Mo 31.01.2011 | | Autor: | a-c |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Kugel mit M (-12/12 [mm] \wurzel{3} [/mm]/[mm] \bruch{347}{22} [/mm] und r= [mm] \bruch{555}{22} [/mm].
Ein Laserstrahl wird von Punkt P (20/ 12[mm] \wurzel{3} [/mm] / [mm] \bruch{347}{22} [/mm] aus in Richtung M gerichtet.
Bestimmen sie die Koordinaten des PUnktes, an dem der Strahl auf die Kugeloberfläche trifft. |
Meine Rechnung:
Kugelgleichung:
K: [mm] (x+12)^2 [/mm] + (y-12 [mm] \wurzel{3} )^2 [/mm] + [mm] (z+\bruch{347}{22})^2= [/mm] ( [mm] \bruch{555}{22})^2
[/mm]
K: [ $ [mm] \vec [/mm] x $ [mm]- \begin{pmatrix}
-12 \\12 \wurzel{3}\\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} [/mm][mm] ]^2= [/mm] ( [mm] \bruch{555}{22})^2
[/mm]
Dann habe ich eine Gerade H durch M und P gelegt:
H: [mm] \vec x [/mm]= [mm] \begin{pmatrix}
-12 \\12 \wurzel{3}\\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} [/mm] + t[mm] \begin{pmatrix}
-32 \\0 \\0 \end{pmatrix} [/mm]
Dann habe ich Die Gerade und die Kugel gleichgesetzt:
[[mm] \begin{pmatrix}
-12 \\12\wurzel{3} \\\bruch{347}{22} \end{pmatrix} [/mm] + t[mm] \begin{pmatrix}
-32 \\0 \\0 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix}
-12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} [/mm][mm] ]^2 [/mm] = [mm] (\bruch{555}{22} )^2
[/mm]
nach ausrechnen und multiplizieren hatte ich dann:
[mm] 1024t^2= [/mm] ( [mm] \bruch{555}{22})^2
[/mm]
und dann habe ich die wurzel gezogen und hatte dann zwei ergebnisse:
[mm] t_1 [/mm]= - [mm] \bruch{555}{704}
[/mm]
[mm] t_2 [/mm]= [mm] \bruch{555}{704} [/mm]
Es kann ja aber nur eine dieser Beiden Schnittpunkte in Frage gekommen. Ich habe das dann so begründet, dasss P und M sich nu inder x-Koordinate unterscheiden und da P in positiver x-Richtung (von M aus) liegt kommt nur [mm] t_1 [/mm] in Frage.
dann habe ich [mm] t_1 [/mm] in die Geradengleichung eingesetzt:
Auftrittspunkt R:
[mm] \begin{pmatrix}
-12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} [/mm] + - [mm] \bruch{555}{704} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
-32 \\0 \\0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{-819}{22} \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} [/mm]
Ist diese Rechnung so richtig oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Vielen Dank im Voraus!
a-c
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Hallo a-c,
> Gegeben ist eine Kugel mit M (-12/12 [mm]\wurzel{3} [/mm]/[mm] \bruch{347}{22}[/mm]
> und r= [mm]\bruch{555}{22} [/mm].
> Ein Laserstrahl wird von Punkt P
> (20/ 12[mm] \wurzel{3}[/mm] / [mm]\bruch{347}{22}[/mm] aus in Richtung M
> gerichtet.
> Bestimmen sie die Koordinaten des PUnktes, an dem der
> Strahl auf die Kugeloberfläche trifft.
> Meine Rechnung:
>
> Kugelgleichung:
>
> K: [mm](x+12)^2[/mm] + (y-12 [mm]\wurzel{3} )^2[/mm] + [mm](z+\bruch{347}{22})^2=[/mm]
> ( [mm]\bruch{555}{22})^2[/mm]
>
> K: [ [mm]\vec x[/mm] [mm]- \begin{pmatrix}
-12 \\12 \wurzel{3}\\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix}[/mm][mm] ]^2=[/mm]
> ( [mm]\bruch{555}{22})^2[/mm]
>
> Dann habe ich eine Gerade H durch M und P gelegt:
>
> H: [mm]\vec x [/mm]= [mm]\begin{pmatrix}
-12 \\12 \wurzel{3}\\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix}[/mm] + t[mm] \begin{pmatrix}
-32 \\0 \\0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Dann habe ich Die Gerade und die Kugel gleichgesetzt:
>
> [[mm] \begin{pmatrix}
-12 \\12\wurzel{3} \\\bruch{347}{22} \end{pmatrix}[/mm]
> + t[mm] \begin{pmatrix}
-32 \\0 \\0 \end{pmatrix}[/mm] -
> [mm]\begin{pmatrix}
-12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix}[/mm][mm] ]^2[/mm]
> = [mm](\bruch{555}{22} )^2[/mm]
>
> nach ausrechnen und multiplizieren hatte ich dann:
>
> [mm]1024t^2=[/mm] ( [mm]\bruch{555}{22})^2[/mm]
>
> und dann habe ich die wurzel gezogen und hatte dann zwei
> ergebnisse:
>
> [mm]t_1 [/mm]= - [mm]\bruch{555}{704}[/mm]
>
>
> [mm]t_2 [/mm]= [mm]\bruch{555}{704}[/mm]
>
> Es kann ja aber nur eine dieser Beiden Schnittpunkte in
> Frage gekommen. Ich habe das dann so begründet, dasss P
> und M sich nu inder x-Koordinate unterscheiden und da P in
> positiver x-Richtung (von M aus) liegt kommt nur [mm]t_1[/mm] in
> Frage.
Nun, anhand der Gerade H stellt man fest,
daß für t=-1der Punkt P erreicht wird.
Demnach muss der in frage kommende t-Wert zwischen -1 und 0 liegen.
>
> dann habe ich [mm]t_1[/mm] in die Geradengleichung eingesetzt:
> Auftrittspunkt R:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
-12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix}[/mm] + -
> [mm]\bruch{555}{704}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
-32 \\0 \\0 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} \bruch{-819}{22} \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix}[/mm]
Bei der Ausführung der obigen Rechnung ist Dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen:
[mm]\begin{pmatrix}
-12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} + \left(-
\bruch{555}{704}\right)\begin{pmatrix} -32 \\0 \\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} \blue{+}
\bruch{555}{704}\begin{pmatrix} +32 \\0 \\0 \end{pmatrix}[/mm]
Du hast aber gerechnet
[mm]\begin{pmatrix}
-12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} + \left(-
\bruch{555}{704}\right)\begin{pmatrix} -32 \\0 \\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} \blue{-}
\bruch{555}{704}\begin{pmatrix} +32 \\0 \\0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist diese Rechnung so richtig oder habe ich irgendwo einen
> Fehler gemacht?
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> a-c
>
Gruss
MathePower
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