Schnittmengen und Unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Do 22.10.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | a, in IR³: Die Schnittmenge zweier Ebenen durch den Nullpunkt ist meistens eine .... , sie kann aber auch eine ... sein, jedoch nie der Unterraum ..... .
b, in IR³: Die Schnittmenge einer Ebene und einer Geraden, die beide durch den Nullpunkt gehen, ist meistens ... , sie kann aber auch ... sein.
c, in [mm] IR^5: [/mm] Seien S und T Unterräume. Zeigen Sie, dass [mm] S\cap [/mm] T ein Unterraum ist. |
Hallo,
a, erste Lücke: Gerade
zweite Lücke: Ebene (E1 = E2)
von [mm] IR^4, [/mm] da Vektoren drei Komponenten
b, erste Lücke: ein Punkt
zweite Lücke: eine Gerade (Gerde liegt in der Ebene)
Stimmen diese Antworten?
c,
Es gilt S [mm] \subseteq IR^5 [/mm] und T [mm] \subseteq IR^5 [/mm] (sind Unterräume)
Zu zeigen: [mm] S\cap [/mm] T [mm] \subseteq IR^5, S\cap [/mm] T = {u | u [mm] \in [/mm] S und u [mm] \in [/mm] T}
Null:
0 [mm] \in [/mm] S und O [mm] \in [/mm] T -> 0 [mm] \in S\cap [/mm] T
Addition:
u, v [mm] \in [/mm] S und x,y [mm] \in [/mm] T: [mm] S\cap IR^5 [/mm] und [mm] T\cap IR^5 [/mm] -> [mm] S\cap [/mm] T [mm] \subseteq IR^5 [/mm] und somit u,v und x,y [mm] \in S\cap [/mm] T -> u+v und x+y [mm] \in S\cap [/mm] T
Multiplikation:
[mm] \lambda, \mu \in [/mm] IR, S und T [mm] \subseteq IR^5 [/mm]
u [mm] \in [/mm] S, S [mm] \subseteq IR^5
[/mm]
x [mm] \in [/mm] T, [mm] T\subseteq IR^5
[/mm]
[mm] S\cap [/mm] T [mm] \subseteq IR^5 [/mm] -> [mm] \lambda [/mm] u und [mm] \mu [/mm] x [mm] \in S\cap [/mm] T
Ist wahrscheinlich viel zu umständlich, wäre es dennoch richtig?
Gruß
itse
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> a, in IR³: Die Schnittmenge zweier Ebenen durch den
> Nullpunkt ist meistens eine .... , sie kann aber auch eine
> ... sein, jedoch nie der Unterraum ..... .
>
> b, in IR³: Die Schnittmenge einer Ebene und einer Geraden,
> die beide durch den Nullpunkt gehen, ist meistens ... , sie
> kann aber auch ... sein.
>
> c, in [mm]IR^5:[/mm] Seien S und T Unterräume. Zeigen Sie, dass
> [mm]S\cap[/mm] T ein Unterraum ist.
> Hallo,
>
> a, erste Lücke: Gerade
> zweite Lücke: Ebene (E1 = E2)
> von [mm]IR^4,[/mm] da Vektoren drei Komponenten
Hallo,
Deine dritte Antwort ist zwar richtig, aber ebenso richtig wäre auch gewesen "nie der Unterraum der Polynome vom Höchstgrad 37".
Hören wollen die von Dir: nie der Unterraum [mm] \{\vektor{0\\0\\0}\}
[/mm]
>
> b, erste Lücke: ein Punkt
nämlich der Nullpunkt
> zweite Lücke: eine Gerade (Gerde liegt in der Ebene)
>
> Stimmen diese Antworten?
Ja.
>
> c,
>
> Es gilt S [mm]\subseteq IR^5[/mm] und T [mm]\subseteq IR^5[/mm] (sind
> Unterräume)
>
> Zu zeigen: [mm]S\cap[/mm] T [mm]\subseteq IR^5, S\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
T = {u | u [mm]\in[/mm] S
> und u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
T}
>
> Null:
> 0 [mm]\in[/mm] S und O [mm]\in[/mm] T
Begründung?
-> 0 [mm]\in S\cap[/mm] T
>
> Addition:
Hier ist zu zeigen, daß für [mm] x,y\in S\cap [/mm] T auch [mm] x+y\in S\cap [/mm] T.
Bew.: Seien [mm] x,y\in S\cap [/mm] T. dann sind [mm] x,y\in [/mm] S und [mm] x,y\in [/mm] T.
Überlege Dir nun, was mit x+y ist.
Analog für die Multiplikation:
Zu zeigen: für [mm] \lambda\in \IR [/mm] und [mm] x\in S\cap [/mm] T ist [mm] \lambda*x\in S\cap [/mm] T.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Fr 23.10.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > Null:
> > 0 [mm]\in[/mm] S und O [mm]\in[/mm] T
>
> Begründung?
S und T sind Unterräume, somit müssen diese den Nullvektor beinhalten. Somit ist dieser auch im Durchschnitt beider Unterräume enthalten.
> -> 0 [mm]\in S\cap[/mm] T
> >
> > Addition:
>
> Hier ist zu zeigen, daß für [mm]x,y\in S\cap[/mm] T auch [mm]x+y\in S\cap T.[/mm]
>
> Bew.: Seien [mm]x,y\in S\cap[/mm] T. dann sind [mm]x,y\in[/mm] S und [mm]x,y\in T.[/mm]
>
> Überlege Dir nun, was mit x+y ist.
Sei x+y [mm] \in S\cap [/mm] T, dann ist x+y [mm] \in [/mm] S und x+y [mm] \in [/mm] T
> Analog für die Multiplikation:
>
> Zu zeigen: für [mm]\lambda\in \IR[/mm] und [mm]x\in S\cap[/mm] T ist
> [mm]\lambda*x\in S\cap[/mm] T.
Sei [mm] \lambda [/mm] * x [mm] \in S\cap [/mm] T, dann ist [mm] \lambda [/mm] * x [mm] \in [/mm] S und [mm] \lambda [/mm] * x [mm] \in [/mm] T.
Soll es dann schon gewesen sein?
Gruß
itse
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> Hallo,
>
>
> > > Null:
> > > 0 [mm]\in[/mm] S und O [mm]\in[/mm] T
> >
> > Begründung?
>
> S und T sind Unterräume, somit müssen diese den
> Nullvektor beinhalten. Somit ist dieser auch im
> Durchschnitt beider Unterräume enthalten.
Hallo,
ja, so ist es.
>
> > -> 0 [mm]\in S\cap[/mm] T
> > >
> > > Addition:
> >
> > Hier ist zu zeigen, daß für [mm]x,y\in S\cap[/mm] T auch [mm]x+y\in S\cap T.[/mm]
>
> >
> > Bew.: Seien [mm]x,y\in S\cap[/mm] T. dann sind [mm]x,y\in[/mm] S und [mm]x,y\in T.[/mm]
>
> >
> > Überlege Dir nun, was mit x+y ist.
>
> Sei x+y [mm]\in S\cap[/mm] T,
Nein, Du gehst mußt doch davon ausgehen, daß [mm] x,y\in S\cap[/mm] [/mm] T sind.
Und nun mußt Du erklären, wie daraus [mm] x+y\in S\cap[/mm] [/mm] T folgt.
In welchen beiden Unterräumen sind denn x und y ganz gewiß? Was folgt daraus?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Fr 23.10.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > > > Addition:
> > >
> > > Hier ist zu zeigen, daß für [mm]x,y\in S\cap[/mm] T auch [mm]x+y\in S\cap T.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Bew.: Seien [mm]x,y\in S\cap[/mm] T. dann sind [mm]x,y\in[/mm] S und [mm]x,y\in T.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Überlege Dir nun, was mit x+y ist.
> >
> > Sei x+y [mm]\in S\cap[/mm] T,
>
> Nein, Du gehst mußt doch davon ausgehen, daß [mm]x,y\in S\cap[/mm][/mm]
> T sind.
>
> Und nun mußt Du erklären, wie daraus [mm]x+y\in S\cap[/mm][/mm] T
> folgt.
>
> In welchen beiden Unterräumen sind denn x und y ganz
> gewiß? Was folgt daraus?
x und y sind in S und T, somit ist eine Linearkombination auch wieder in S und T.
Sei x,y [mm] \in S\cap [/mm] T, dann ist x+y [mm] \in [/mm] S und x+y [mm] \in [/mm] T
Multiplikation:
Sei [mm] \lambda \in \IR [/mm] und x [mm] \in S\cap [/mm] T, dann ist [mm] \lambda [/mm] *x [mm] \in [/mm] S und [mm] \lambda [/mm] *x [mm] \in [/mm] T
Oder?
Gruß
itse
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> > Nein, Du gehst mußt doch davon ausgehen, daß [mm]x,y\in S\cap[/mm][/mm]
> > T sind.
> >
> > Und nun mußt Du erklären, wie daraus [mm]x+y\in S\cap[/mm][/mm] T
> > folgt.
> >
> > In welchen beiden Unterräumen sind denn x und y ganz
> > gewiß? Was folgt daraus?
>
> x und y sind in S und T, somit ist eine Linearkombination
> auch wieder in S und T.
>
> Sei x,y [mm]\in S\cap[/mm] T, dann ist x+y [mm]\in[/mm] S und x+y [mm]\in[/mm] T
>
> Multiplikation:
>
> Sei [mm]\lambda \in \IR[/mm] und x [mm]\in S\cap[/mm] T, dann ist [mm]\lambda[/mm] *x
> [mm]\in[/mm] S und [mm]\lambda[/mm] *x [mm]\in[/mm] T
>
> Oder?
Hallo,
die Folgerungen daraus dürftest Du ruhig auch noch hinschreiben, aber der Weg ist nun richtig.
Gruß v. Angela
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