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| Aufgabe | Gegeben ist eine Ebene [m]p[/m] im [m]\IR^{3}[/m] in Normalenform: [m]p: 2x_1 - x_2 + 4x_3 - 7 = 0[/m] und eine Gerade [m]g: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m].
Bestimmen Sie den unbekannten Parameter [m]a[/m] so, dass sich [m]g[/m] und [m]p[/m] nicht schneiden. |
Hallo zusammen.
Gegeben: [m]p: 2x_1 - x_2 + 4x_3 - 7 = 0[/m], [m]g: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m]
Gesucht: [m]a \in \IR[/m] mit [m]g \cap p = \emptyset[/m]
Es gilt: Man kann jetzt die Normalenform der Ebene [m]p[/m] in Parameterform umwandeln. Den Schnittpunkt erhält man, indem man dann [m]g[/m] und [m]p[/m] gleichsetzt, aber wann schneiden sich Gerade und Ebene nicht?
Vielen Dank im voraus für die Hilfe!
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> Gegeben ist eine Ebene [m]p[/m] im [m]\IR^{3}[/m] in Normalenform: [m]p: 2x_1 - x_2 + 4x_3 - 7 = 0[/m]
> und eine Gerade [m]g: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m].
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> Bestimmen Sie den unbekannten Parameter [m]a[/m] so, dass sich [m]g[/m]
> und [m]p[/m] nicht schneiden.
> Hallo zusammen.
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> Gegeben: [m]p: 2x_1 - x_2 + 4x_3 - 7 = 0[/m], [m]g: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m]
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> Gesucht: [m]a \in \IR[/m] mit [m]g \cap p = \emptyset[/m]
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> Es gilt: Man kann jetzt die Normalenform der Ebene [m]p[/m] in
> Parameterform umwandeln. Den Schnittpunkt erhält man,
> indem man dann [m]g[/m] und [m]p[/m] gleichsetzt, aber wann schneiden
> sich Gerade und Ebene nicht?
Hallo,
sie schneiden sich nicht, wenn a so beschaffen ist, daß das entstehende Gleichungssystem (3 Variablen, die Parameter) keine Lösung hat.
Wenn Du mal zeigst, wie weit Du gekommen bist, können wir gemeinsam schauen.
Der von Dir eingeschlagene Weg ist nicht der geschickteste - das Gleichungssystem mit 3 Variablen zu lösen ist ja etwas lästig.
Andere Möglichkeiten:
A.
Die Geradengleichung lautet manierlich geschrieben
[mm] g:\qquad \red{\vektor{x_1\\x_2\\x_3}}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.
[/mm]
Du kannst [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] direkt in die in Koordinatenform gegebene Ebenengleichung einsetzen und dann [mm] \lambda [/mm] berechnen, bzw. gucen, für welches a man ein passendes [mm] \lambda [/mm] findet.
B.
Ebene und Gerade haben keinen Schnittpunkt, wenn die Gerade parallel zur Ebene ist.
Das ist der Fall, wenn der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist.
Einen Normalenvektor der Ebene kannst Du leicht aus der Koordinatengleichung ablesen...
Dieser Lösungsweg ist der bequemster.
LG Angela
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> Vielen Dank im voraus für die Hilfe!
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> B.
> Ebene und Gerade haben keinen Schnittpunkt, wenn die
> Gerade parallel zur Ebene ist.
> Das ist der Fall, wenn der Richtungsvektor der Geraden
> senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist.
> Einen Normalenvektor der Ebene kannst Du leicht aus der
> Koordinatengleichung ablesen...
> Dieser Lösungsweg ist der bequemster.
>
Hallo Angela,
dieser Weg scheint mir auch der bequemste...
Also...
[m]g \cap p = \emptyset \gdw \vec r_{g} \perp \vec n_{p} \gdw \vec r_{g} \cdot \vec n_{p} = 0 \gdw \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = 0 \gdw 2a - 2 + 12 = 0 \gdw 2a = -10 \gdw a = -5[/m]
Mit [m]a = 5[/m] gilt: [m]g \cap p = \emptyset[/m]
Hoffe es ist alles so richtig, wenn ja.... Mathe kann ja doch einfach sein! ;)
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> > B.
> > Ebene und Gerade haben keinen Schnittpunkt, wenn die
> > Gerade parallel zur Ebene ist.
> > Das ist der Fall, wenn der Richtungsvektor der Geraden
> > senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist.
> > Einen Normalenvektor der Ebene kannst Du leicht aus der
> > Koordinatengleichung ablesen...
> > Dieser Lösungsweg ist der bequemster.
> >
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> Hallo Angela,
>
> dieser Weg scheint mir auch der bequemste...
>
> Also...
>
> [m]g \cap p = \emptyset \gdw \vec r_{g} \perp \vec n_{p} \gdw \vec r_{g} \cdot \vec n_{p} = 0 \gdw \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = 0 \gdw 2a - 2 + 12 = 0 \gdw 2a = -10 \gdw a = -5[/m]
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> Mit [m]a = 5[/m] gilt: [m]g \cap p = \emptyset[/m]
>
> Hoffe es ist alles so richtig, wenn ja.... Mathe kann ja
> doch einfach sein! ;)
Hallo,
ja, so ist's richtig.
Du müßtest Dich nur noch vergewissern, daß die Gerade nicht in der Ebene liegt.
(Punktprobe mit dem Stützvektor der Geraden.)
LG Angela
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Hallo.
Also setzt man die Komponenten [m](1,0,1)^{T}[/m] des Ortsvektors der Geraden [m]\vec y_{g}[/m] in die Normalengleichung der Ebene p.
Dies ergibt dann [m]2-0+4-7=0 \gdw 6-7 = -1 \not= 0[/m], also liegt die Gerade nicht in der Ebene, man könnte auch schreiben [m]g \not\subseteq p[/m],
es sind ja immerhin beides Mengen?
Was wäre denn, wenn [m]g[/m] und [m]p[/m] sich schneiden und man den Schnittpunkt bestimmen soll? Setze ich dann einfach beide Gleichungen gleich, bestimme den Parameter [mm] \lambda [/mm] und setze ihn dann in die Gleichungen ein...?
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> Hallo.
> Also setzt man die Komponenten [m](1,0,1)^{T}[/m] des Ortsvektors
> der Geraden [m]\vec y_{g}[/m] in die Normalengleichung der Ebene
> p.
> Dies ergibt dann [m]2-0+4-7=0 \gdw 6-7 = -1 \not= 0[/m], also
> liegt die Gerade nicht in der Ebene,
Genau.
> man könnte auch
> schreiben [m]g \not\subseteq p[/m],
ja
> es sind ja immerhin beides
> Mengen?
ja
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> Was wäre denn, wenn [m]g[/m] und [m]p[/m] sich schneiden und man den
> Schnittpunkt bestimmen soll? Setze ich dann einfach beide
> Gleichungen gleich, bestimme den Parameter [mm]\lambda[/mm] und
> setze ihn dann in die Gleichungen ein...?
Ja.
Am besten in die Normalenform einsetzen, dann muß man sich nur mit einer Variablen beschäftigen.
LG Angela
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