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Hallo, ich habe hier eine Aufgabenstellung, bei der ich einfach nicht weiß, wie ich dort herangehen soll
Gib eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden der Ebenen E1 und E2 an
a) E1: [mm] \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right] [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = 0,
E2: [mm] \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \right] [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = 0
Kann mir vielleicht jemanden einen Ansatz geben?!
Danke
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> Hallo, ich habe hier eine Aufgabenstellung, bei der ich
> einfach nicht weiß, wie ich dort herangehen soll
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> Gib eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden der Ebenen
> E1 und E2 an
> a) E1: [mm]\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right]* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0[/mm],
> E2: [mm]\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \right]* \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = 0[/mm]
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> Kann mir vielleicht jemanden einen Ansatz geben?!
Den Richtungsvektor der Schnittgeraden könnte man leicht mit Hilfe des Vektorproduktes der beiden Normalenvektoren der Ebenen bestimmen. Aber dann bräuchte man noch einen Punkt der Schnittgeraden. Also muss man doch das Gleichungssystem lösen, das sich ergibt, wenn man den Vektor [mm] $\vec{x}$ [/mm] in Koordinaten $x,y,z$ ausdrückt und die Skalarprodukte ausmultipliziert:
[mm]\begin{array}{crcrcrcrcl|}
\text{(I)} & x &+& y &+& z &-& 5 &=& 0\\
\text{(II)} & 2x &-& 3y &+& z &-& 11 &=& 0\\\cline{2-10}
\end{array}[/mm]
Nun bestimmst Du die allgemeine Lösung dieses (unterbestimmten) linearen Gleichungssystems, etwa in dem Du Gleichung (I) von Gleichung (II) subtrahierst. Ergibt $x-4y-6=0$. Dann drückst Du die eine der verbleibenden beiden Variablen einfach als Funktion der anderen aus (d.h. Du behandelst diese Variable als frei wählbaren Parameter der allgemeinen Lösung). Etwa $x=4y+6$. Einsetzen dieses Wertes von $x$ in die Gleichung (I) ergibt, dass $z=-5y-1$ sein muss. Damit hast Du, dass für einen Punkt $(x|y|z)$ der Schnittgeraden gelten muss:
[mm]\pmat{x\\y\\z}=\pmat{4y+6\\y\\-5y-1}=\pmat{6\\0\\-1}+\red{y}\pmat{4\\1\\-5}[/mm]
Nun wirst Du in der Linearkombination ganz rechts noch [mm] $\red{y}$ [/mm] in $t$ umbenennen wollen und schon hast Du die Parameterdarstellung der Schnittgeraden.
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