Schnittgerade zweier Ebenen in < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ich habe zwei Ebenen in Normalenform und soll die Schnittgerade bestimmen. Ich bräuchte dringend einen qualifizierten Hinweis, ob mein Ansatz taugt. |
Hallo zusammen,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
In der Aufgabe habe ich zwei Ebenen gegeben in Normalenform, [mm]E : \left [ \begin{vec}x\end{vec} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right ] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 0[/mm] und [mm] F : \left [ \begin{vec}x\end{vec} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right ] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 [/mm].
Ich soll die Gerade bestimmen, die den Schnitt der Ebenen beschreibt. Weil ich mich mit der Parameterform schwer getan habe, habe ich versucht, beide Gleichungen in Koordinatenform zu verwandeln.
Zunächst habe ich E und F 'aufgedröselt' in [mm]E : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] und [mm]F : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm].
Daraus habe ich mit dem Skalarprodukt die beiden Koordinatengleichungen E : [mm] -x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] = 2 und F : [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 1 abgeleitet.
Damit kann ich dann ein dreizeiliges Gleichungssystem aufstellen, indem ich einen Freiheitsgrad (also eine Variable ohne Wertzuordnung als frei wählbarer Parameter) habe:
[mm]
\begin{matrix}
-x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = 2 \\
x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = 1 \\
& & & & x_3 & = 1\end{matrix}
[/mm]
Mit [mm]x_{31}=1[/mm], [mm]x_{21}=\bruch{-1}{3}[/mm] und [mm]x_{11}=\bruch{1}{3}[/mm] hätte ich dann eine Lösung. Kann ich jetzt ein anderes [mm]x_{32}[/mm] auswählen, für dieses [mm]x_{22}[/mm] und [mm]x_{12}[/mm] berechnen, um dann durch die Punkte P([mm]x_{11}[/mm] | [mm]x_{21}[/mm] | [mm]x_{31}[/mm]) und Q([mm]x_{12}[/mm] | [mm]x_{22}[/mm] | [mm]x_{32}[/mm]) die Schnittgerade zu legen?
Viele Grüße von
Christian
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Ich habe zwei Ebenen in Normalenform und soll die
> Schnittgerade bestimmen. Ich bräuchte dringend einen
> qualifizierten Hinweis, ob mein Ansatz taugt.
>
> In der Aufgabe habe ich zwei Ebenen gegeben in
> Normalenform, [mm]E : \left [ \begin{vec}x\end{vec} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right ] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 0[/mm]
> und [mm]F : \left [ \begin{vec}x\end{vec} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right ] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 [/mm].
>
> Ich soll die Gerade bestimmen, die den Schnitt der Ebenen
> beschreibt. Weil ich mich mit der Parameterform schwer
> getan habe, habe ich versucht, beide Gleichungen in
> Koordinatenform zu verwandeln.
>
Das war zunächst schonmal genau die richtige Idee. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wobei 'Umwandeln' schon etwas hoch gegriffen ist für das, was man da tut, eigentlich schreibt man die Gleichung nur um, indem man das Skalarprodukt ausführt.
> Zunächst habe ich E und F 'aufgedröselt' in [mm]E : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]F : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm].
>
> Daraus habe ich mit dem Skalarprodukt die beiden
> Koordinatengleichungen E : [mm]-x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] = 2 und F :
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 1 abgeleitet.
>
Das ist bis dahin auch völlig ok.
> Damit kann ich dann ein dreizeiliges Gleichungssystem
> aufstellen, indem ich einen Freiheitsgrad (also eine
> Variable ohne Wertzuordnung als frei wählbarer Parameter)
> habe:
>
> [mm]
\begin{matrix}
-x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = 2 \\
x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = 1 \\
& & & & x_3 & = 1\end{matrix}
[/mm]
Hier ist dein Denkfehler: frei wählen bedeutet in diesem Fall nicht, eine feste Zahl zu wählen, sondern mit einem Parameter weiterzuarbeiten, den man zunächst als fest ansieht, also etwa
[mm] x_3=t
[/mm]
>
> Mit [mm]x_{31}=1[/mm], [mm]x_{21}=\bruch{-1}{3}[/mm] und [mm]x_{11}=\bruch{1}{3}[/mm]
> hätte ich dann eine Lösung. Kann ich jetzt ein anderes
> [mm]x_{32}[/mm] auswählen, für dieses [mm]x_{22}[/mm] und [mm]x_{12}[/mm] berechnen,
> um dann durch die Punkte P([mm]x_{11}[/mm] | [mm]x_{21}[/mm] | [mm]x_{31}[/mm]) und
> Q([mm]x_{12}[/mm] | [mm]x_{22}[/mm] | [mm]x_{32}[/mm]) die Schnittgerade zu legen?
Mit deiner Methode bekommst du einen Punkt der Schnittgeraden. Jetzt könntest du sie mit einem anderen Wert wiederholen, dann hättest du einen zweiten Punkt und damit die Schnittgerade.
Viel einfacher ist es jedoch, das LGS mit der dritten Gleichung [mm] x_3=t [/mm] in Abhängigkeit von t zu lösen, um dann aus dem Lösungsvektor
[mm] \vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}
[/mm]
durch Auseinanderziehen des konstanten und des von t abhängigen Teils direkt die Geradengleichung zu erhalten.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Fr 22.03.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Christian,
deine Ergebnisse sind ja soweit richtig, aber
mir ist da etwas Formelles aufgefallen : Du
multiplizierst [mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
[/mm]
komponentenweise. Da du beim Aufstellen des LGS die Summe
der Vektorkomponenten bildest bekommst Du dann wieder
die richtigen Werte. Aber korrekt sollte es meiner
Meinung nach wie folgt hergeleitet werden :
$ E : [mm] \left [ \begin{vec}x\end{vec} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\right [/mm] ] [mm] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] =0$
$ E : [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] = 2 $
$ F : [mm] \left [ \begin{vec}x\end{vec} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix} \right [/mm] ] [mm] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] =0 $
$ F : [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = 1 $
Beachte : Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein
Skalar und kein Vektor!
Gruß
Kai
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