Schnittgerade zweier Ebenen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:19 So 09.04.2006 | | Autor: | IYTI |
| Aufgabe | E1: [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 2 }+ \lambda 1\pmat{ 1 \\ 2 \\ 4 }+ \lambda 2\pmat{ 5 \\ -5 \\ 2 }
[/mm]
E2: [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 }+ \mu 1\pmat{ 2 \\ -1 \\ 3 }+ \mu 2\pmat{ -1 \\ 3 \\ -2 } [/mm] |
Hallo, ich bin neu hier und habe eine Frage zu dieser Aufgabe, ich soll überprüfen, ob sich die Ebenen schneiden, dies habe ich folgendermaßen überprüft:
Aus den beiden Richtungsvektoren jeder Ebene das Kreuzprodukt gebildet und danach aus den beiden Ergebnisvektoren wiedrrum das Kreuzprodukt gebildet, da dies ungleich 0 war, schneiden sie sich (bis hier hin richtig?)
jetzt stellt sich für mich nur das Problem, das ich auch noch die Schnittgerade haben muss, wie berechne ich sie am besten? Ich kann einen Schnittpunkt einer Ebene mit einer Gerade berechnen, doch hier habe ich das Problem, da ich ja 4 Unbekannte habe (L1,L2,M1,M2) und nur in der dritten Dimension bin und somit nur 3 Gleichungen aufstellen kann, wenn ich die vektoren in der parameterfreien Form schreiben will.
Kann mir da einer helfen bzw die ganze Aufgabe einmal rechnen damit ich mir das mal anschaun kann wie man vorgeht? wäre echt klasse
danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 So 09.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo IYTI und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> E1: [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 2 }+ \lambda 1\pmat{ 1 \\ 2 \\ 4 }+ \lambda 2\pmat{ 5 \\ -5 \\ 2 }[/mm]
>
> E2: [mm]\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 }+ \mu 1\pmat{ 2 \\ -1 \\ 3 }+ \mu 2\pmat{ -1 \\ 3 \\ -2 }[/mm]
>
> Hallo, ich bin neu hier und habe eine Frage zu dieser
> Aufgabe, ich soll überprüfen, ob sich die Ebenen schneiden,
> dies habe ich folgendermaßen überprüft:
>
> Aus den beiden Richtungsvektoren jeder Ebene das
> Kreuzprodukt gebildet und danach aus den beiden
> Ergebnisvektoren wiedrrum das Kreuzprodukt gebildet, da
> dies ungleich 0 war, schneiden sie sich (bis hier hin
> richtig?)
[mm] \vec{n_1}=\pmat{ 1 \\ 2 \\ 4 } \times\pmat{ 5 \\ -5 \\ 2 } [/mm] = [mm] \vektor{24\\18 \\-15 } [/mm] = [mm] \vektor{8 \\6 \\-5}
[/mm]
[mm] \vec{n_2}=\pmat{ 2 \\ -1 \\ 3 }\times\pmat{ -1 \\ 3 \\ -2 }=\vektor{-7\\1 \\ 5}
[/mm]
da [mm] n_1 [/mm] nicht kolliniar bzw. linear abhängig ist zu [mm] n_2, [/mm] sind die Ebenen nicht parallel und auch nicht identisch, daher bleibt nur noch der Möglichkeit des Schnitts.
Und was hast du da gemacht? Ungleich null hört sich so an, als hättest du das Skalarprodukt verwendet. Wenn das Skalarprodukt der Normalenvektoren gleich null ist, schneiden sich die Ebenen senkrecht. Du musst zeigen, dass die Normalenvektoren kein vielfaches (also linear unabhängig) voneinander sind.
> jetzt stellt sich für mich nur das Problem, das ich auch
> noch die Schnittgerade haben muss, wie berechne ich sie am
> besten? Ich kann einen Schnittpunkt einer Ebene mit einer
> Gerade berechnen, doch hier habe ich das Problem, da ich ja
> 4 Unbekannte habe (L1,L2,M1,M2) und nur in der dritten
> Dimension bin und somit nur 3 Gleichungen aufstellen kann,
> wenn ich die vektoren in der parameterfreien Form schreiben
> will.
Richtig, so ein Gleichungssystem lässt sich nur in Abhängigkeit eines Parameters bestimmen. Nun hast du neben der Möglichkeit, die Parameterformen gleichzusetzen noch eine, aus meiner Sicht, bequemeres Verfahren. Aber machen wir es erst einmal so, wie du das wolltest.
I [mm] 1+\lambda_1 [/mm] + [mm] 5\lambda_2 [/mm] = [mm] 1+2\mu_1-\mu_2
[/mm]
usw.
Das kansnt du über Gauß lösen. Der Gag ist hierbei, dass du zwei Richtungsvektoren (oder auch Spannvektoren) der andere Ebene herausschmeisst. In der letzten Gleichung musst du also so etwas erhalten wie
[mm] \lambda_1=a\lambda_2+c
[/mm]
oder so etwas (ich habe es jetzt nicht gerechnet)
Aber dann kennst du [mm] \lambda_1, [/mm] und das kannst du in die Parameterform einsetzen und du bekommst eine Schnittgerade.
(Natürlich kannst du auch nach [mm] \mu_1 [/mm] oder [mm] \mu_2 [/mm] umstellen - ganz nach belieben)
Die schönere Möglichkeit, wie ich finde, ist:
wir haben die Normalenvektoren ja schon über das Kreuzprodukt berechnet. Daher kannst du die Parameterform in eine Koordinantenform umwandeln. Weißt du, wie das geht?
Wenn du die Koordinatenform hast, kannst du die Parameterform dort einsetzen und nach einem Parameter auflösen.
Wenn du so etwas hast wie
[mm] E_2 [/mm] : [mm] a\red{x_1} [/mm] + [mm] b\blue{x_2} [/mm] + [mm] c\green{x_3} [/mm] = d
[mm] E1:\vec{x}=[/mm] [mm]\pmat{ \red{1} \\ \blue{0} \\ \green{2} }+ \lambda_1\pmat{ \red{1} \\ \blue{2} \\ \green{4} }+ \lambda_2\pmat{ \red{5} \\ \blue{-5} \\ \green{2} }[/mm]
Dann musst du nur das rote fürs rote einsetzen, das blaue fürs blaue und das grüne fürs grüne z. B. ergibt sich dann
[mm] $E_1 [/mm] in [mm] E_2 [/mm] = [mm] a(1+\lambda_1+5\lambda_2)+b($[blue]hier [/mm] setzt du das blaue ein[/blue]$)+c(...)=d$
> Kann mir da einer helfen bzw die ganze Aufgabe einmal
> rechnen damit ich mir das mal anschaun kann wie man
> vorgeht? wäre echt klasse
Ich denke, das wirst du auch so hinkriegen, zeig uns doch mal deine Rechnung. Das ist keine großartige Sache. Falls doch, darfst du gerne Rückfragen stellen.
> danke schonmal
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
Disap
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:57 So 09.04.2006 | | Autor: | IYTI |
>Die schönere Möglichkeit, wie ich finde, ist:
>wir haben die Normalenvektoren ja schon über das Kreuzprodukt >berechnet. Daher kannst du die Parameterform in eine Koordinantenform >umwandeln. Weißt du, wie das geht?
>Wenn du die Koordinatenform hast, kannst du die Parameterform dort >einsetzen und nach einem Parameter auflösen.
>Wenn du so etwas hast wie
>$ [mm] E_2 [/mm] $ : $ [mm] a\red{x_1} [/mm] $ + $ [mm] b\blue{x_2} [/mm] $ + $ [mm] c\green{x_3} [/mm] $ = d
>$ [mm] E1:\vec{x}= [/mm] $ $ [mm] \pmat{ \red{1} \\ \blue{0} \\ \green{2} }+ >\lambda_1\pmat{ \red{1} \\ \blue{2} \\ \green{4} }+ \lambda_2\pmat{ >\red{5} \\ \blue{-5} \\ \green{2} } [/mm] $
ja, sie sieht jedenfalls schöner aus :) aber leider hab ich keine ahnung, wie man aus der Parameterform die "freie" macht, mich verwirren auch die Variablen a,b,c und d ein wenig, weil was setze ich dafür ein? sind das variablen nach denen ich auflösen muss? wo ist mein [mm] \lambda [/mm] 1,2 und [mm] \mu [/mm] 1,2 hin?
deswegen meinte ich es wäre ganz nett wenn mir jemand die mal vorrechnen könnte damit ich nachvollziehen kann was man bei der Aufgabe so machen muss. Muss mir leider immer eine Schritt für Schritt Liste machen um zur Lösung zu kommen. Bei den Vektoren hab ich extreme Probleme mir alles vorzustellen bzw wurde mir gesagt man solle sich das gar nicht vorstellen weil wenn es nachher in Dimension 4+ geht wird man bei der vorstellung sowieso kirre im Kopf,... :(
Und dann habe ich noch das Glück das im Papula gerade dieser Fall NICHT drinsteht :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 So 09.04.2006 | | Autor: | Disap |
> >Die schönere Möglichkeit, wie ich finde, ist:
> >wir haben die Normalenvektoren ja schon über das
> Kreuzprodukt >berechnet. Daher kannst du die Parameterform
> in eine Koordinantenform >umwandeln. Weißt du, wie das
> geht?
> >Wenn du die Koordinatenform hast, kannst du die
> Parameterform dort >einsetzen und nach einem Parameter
> auflösen.
> >Wenn du so etwas hast wie
>
> >[mm] E_2[/mm] : [mm]a\red{x_1}[/mm] + [mm]b\blue{x_2}[/mm] + [mm]c\green{x_3}[/mm] = d
>
> >[mm] E1:\vec{x}=[/mm] [mm]\pmat{ \red{1} \\ \blue{0} \\ \green{2} }+ >\lambda_1\pmat{ \red{1} \\ \blue{2} \\ \green{4} }+ \lambda_2\pmat{ >\red{5} \\ \blue{-5} \\ \green{2} }[/mm]
>
> ja, sie sieht jedenfalls schöner aus :) aber leider hab ich
> keine ahnung, wie man aus der Parameterform die "freie"
> macht, mich verwirren auch die Variablen a,b,c und d ein
> wenig, weil was setze ich dafür ein? sind das variablen
> nach denen ich auflösen muss? wo ist mein [mm]\lambda[/mm] 1,2 und
> [mm]\mu[/mm] 1,2 hin?
Unsere erste Ebene lautete:
$ [mm] E1:\vec{x}= [/mm] $ $ [mm] \pmat{ \red{1} \\ \blue{0} \\ \green{2} }+ \lambda_1\pmat{ \red{1} \\ \blue{2} \\ \green{4} }+ \lambda_2\pmat{ \red{5} \\ \blue{-5} \\ \green{2} } [/mm] $
Die Koordinatenform (such mal im Internet danach, u. a. kannst du ja auch mal bei Wikipedia gucken) lautet
E: [mm] n_1*x_1+n_2*x_2+n_3*x_3=d
[/mm]
Nun möchte ich unsere Ebene [mm] E_2 [/mm] in eine Koordinatenform packen, den Normalenvektor haben wir bereits berechnet
E2: $ [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 }+ \mu_1\pmat{ 2 \\ -1 \\ 3 }+ \mu_2\pmat{ -1 \\ 3 \\ -2 } [/mm] $
$ [mm] \vec{n_2}=\pmat{ 2 \\ -1 \\ 3 }\times\pmat{ -1 \\ 3 \\ -2 }=\vektor{-7\\1 \\ 5} [/mm] $
Das ist der Normalenvektor, den wir für unsere allgemeine Koordinanteform benötigen:
[mm] E_2: n_1*x_1+n_2*x_2+n_3*x_3=d
[/mm]
Die [mm] n_1 [/mm] Koordinate, [mm] n_2... [/mm] schreibt man da jetzt einfach hinein
[mm] -7*x_1+1*x_2+5*x_3=d
[/mm]
Nun fehlt uns noch das d, das die Entfernung zum Koordinatenursprung angibt (aber das ist für die Aufgabe überhaupt nicht von Bedeutung), das bekommen wir heraus, indem wir für [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] einen Punkt der Ebene einsetzen. Hierbei bietet sich natürlich der Ortsvektor an [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 }
[/mm]
d=-7*1+1*2+5*3=-7+2+15 = 10
Unsere Koordinanteform lautet also
[mm] E_2: -7*\red{x_1}+1*\blue{x_2}+5*\green{x_3}=10
[/mm]
Unsere andere Ebene lautet:
$ [mm] E1:\vec{x}= [/mm] $ $ [mm] \pmat{ \red{1} \\ \blue{0} \\ \green{2} }+ \lambda_1\pmat{ \red{1} \\ \blue{2} \\ \green{4} }+ \lambda_2\pmat{ \red{5} \\ \blue{-5} \\ \green{2} } [/mm] $
Und die setzen wir in [mm] E_2 [/mm] ein
[mm] -7*\red{(1+\lambda_1+5\lambda_2}+1*\blue{(0+2\lambda_1-5\lambda_2)}+5*\green{(2+4\lambda_1+2\lambda_2)}=10
[/mm]
Das ganze musst du ausmultiplizieren und nach [mm] \lambda_1 [/mm] oder [mm] \lambda_2 [/mm] umstellen. Ich kann das jetzt aus Zeitgründen nicht machen... Und ich bin mir auch nicht so sicher, ob ich mich gerade schon in der Zeile verguckt habe...
Wenn du dann dein entsprechendes [mm] \lambda_1 [/mm] heraus hast, sagen wir mal fiktiv, das wäer [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] 3\lambda_2 [/mm] +1
Dann setzt du das in deine Ebenengleichung [mm] E_1 [/mm] ein und multiplizierst das aus
[mm] g:\vec{x}=$ \pmat{ 1 \\ 0 \\ 2 }+ 3\lambda_2 +1\pmat{ 1 \\ 2 \\ 4 }+ \lambda 2\pmat{ 5 \\ -5 \\ 2 } [/mm] $
[mm] g:\vec{x}=$ \blue{\pmat{ 1 \\ 0 \\ 2 }}+ \red{3\lambda_2\pmat{ 1 \\ 2 \\ 4 }}+\blue{1\pmat{ 1 \\ 2 \\ 4 }}+ \red{\lambda 2\pmat{ 5 \\ -5 \\ 2 }} [/mm] $
Das rote und das blaue kannst du entsprechend zusammenfassen, sodass du einen neuen Ortsvektor und EINEN verbleibenden Richtungsvektor [mm] \lambda_2 [/mm] hast.
> deswegen meinte ich es wäre ganz nett wenn mir jemand die
> mal vorrechnen könnte damit ich nachvollziehen kann was man
> bei der Aufgabe so machen muss. Muss mir leider immer eine
Mit Vorrechnen ist das immer so eine Sache, evtl. hat dafür jemand Zeit, evtl. auch nicht... Aber eigentlich müsstest du es selbst hinbekommen und es wäre viel schöner aus unserer Sicht, wenn du deine Rechnungen hier zeigen würdest. Immerhin kennst du dich ja gut mit dem Formeleditor aus.
> Schritt für Schritt Liste machen um zur Lösung zu kommen.
> Bei den Vektoren hab ich extreme Probleme mir alles
> vorzustellen bzw wurde mir gesagt man solle sich das gar
> nicht vorstellen weil wenn es nachher in Dimension 4+ geht
> wird man bei der vorstellung sowieso kirre im Kopf,... :(
>
> Und dann habe ich noch das Glück das im Papula gerade
> dieser Fall NICHT drinsteht :(
Ich würde dir empfehlen, dass du einfach mal im Internet per Suchmaschine danach suchst, Schnittgerade zweier Ebenen, man findet da genug...
Falls du mit der Antwort unzufrieden bist, kannst du den Status der Frage ja auf 'unbeantwortet' setzen, allerdings bitte mit einer entsprechenden Mitteilung.
Du kannst auch einfach eine neue Frage stellen, aber bitte mit Rechnungen.
Ich hoffe, du kommst mit meiner Antwort aber schon weiter.
MfG!
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 So 09.04.2006 | | Autor: | IYTI |
nochmal die Aufgabe:
E1: $ [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 2 }+ \lambda 1\pmat{ 1 \\ 2 \\ 4 }+ \lambda 2\pmat{ 5 \\ -5 \\ 2 } [/mm] $
E2: $ [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 }+ \mu 1\pmat{ 2 \\ -1 \\ 3 }+ \mu 2\pmat{ -1 \\ 3 \\ -2 } [/mm] $
ja, der Formeleditor ist echt ne gute Sache, dann kann man die Aufgaben genauso überliefern, wie sie auch in original irgendwo stehen.
Ok ich versuche sie mal zu errechnen:
also ich berechne [mm] \vec{n}_1 [/mm] und [mm] \vec{n}_2
[/mm]
[mm] \vec{n}_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm] X [mm] \vektor{5 \\ -5 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{24 \\ 18 \\ -15}
[/mm]
[mm] \vec{n}_2 [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 3} [/mm] X [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ -2} [/mm] = [mm] \vektor{-7 \\ 1 \\ 5}
[/mm]
Koordinatenform für E1: [mm] 24x_1+18 x_2-15 x_3 [/mm] = d
Berechnung d mit dem Ortsvektor
d = 24 * 1 + 18 * 0 - 15 * 2 = -6
Koordinatenform für E1 lautet somit:
[mm] 24x_1+18 x_2-15 x_3 [/mm] = -6
Jetzt setze ich die Parameterform von E2 in die Koordinatenform von E1 ein:
24 * (1 + 2 * [mm] \mu_1 [/mm] - [mm] \mu_2 [/mm] ) + 18 * (2 - [mm] \mu_1 [/mm] + 3 * [mm] \mu_2) [/mm] - 15 * (3 + 3 * [mm] \mu_1 [/mm] - 2 * [mm] \mu_2 [/mm] ) = -6
=> -15 [mm] \mu_1 [/mm] + 60 [mm] \mu_2 [/mm] = -21
nach [mm] \mu_1 [/mm] umgestellt
[mm] \mu_1 [/mm] = [mm] \bruch{-7}{5} [/mm] - 4 [mm] \mu_2
[/mm]
[mm] \mu_1 [/mm] eingesetzt in die E2 Parameterform:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + ( [mm] \bruch{-7}{5} [/mm] - 4 [mm] \mu_2 [/mm] ) * [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 3} [/mm] + [mm] \mu_2 [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ -2}
[/mm]
dann kommt bei mir raus:
[mm] \vektor{ \bruch{19}{5} \\ \bruch{3}{5} \\ \bruch{36}{5}}
[/mm]
danke dir für die Hilfe :) werd noch weitere Aufgaben rechnen um das ein wenig zu festigen, habs zwar noch nicht nötig zu lernen aber will jetzt schon anfngen damit es nicht so hart vor den Klausuren kommt :)
Hab die Rechnung nochmal editiert weil sie ja Fehler drin hatte,...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 09.04.2006 | | Autor: | Disap |
Servus!
> ja, der Formeleditor ist echt ne gute Sache, dann kann man
> die Aufgaben genauso überliefern, wie sie auch in original
> irgendwo stehen.
>
> Ok ich versuche sie mal zu errechnen:
>
> also ich berechne [mm]\vec{n}_1[/mm] und [mm]\vec{n}_2[/mm]
>
> [mm]\vec{n}_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 4}[/mm] X [mm]\vektor{5 \\ -5 \\ 2}[/mm] =
> [mm]\vektor{24 \\ 18 \\ -15}[/mm]
>
> [mm]\vec{n}_2[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 3}[/mm] X [mm]\vektor{-1 \\ 3 \\ -2}[/mm]
> = [mm]\vektor{-7 \\ 1 \\ 5}[/mm]
>
>
> Koordinatenform für E1: [mm]24x_1+18 x_2\red{-}15 x_3[/mm] = d
>
>
> Berechnung d mit dem Ortsvektor
> d = 24 * 1 + 18 * 0 [mm] \red{+} [/mm] 15 * 2 = 54
>
Das wäre Minus und somit ergibt sich 24-30
>
> Koordinatenform für E1 lautet somit:
> [mm]24x_1+18 x_2-15 x_3[/mm] = [mm] \red{54}
[/mm]
>
Folge Fehler!
> Jetzt setze ich die Parameterform von E2 in die
> Koordinatenform von E1 ein:
>
> 24 * (1 + 2 * [mm]\mu_1[/mm] - [mm]\mu_2[/mm] ) + 18 * (2 - [mm]\mu_1[/mm] + 3 *
> [mm]\mu_2)[/mm] - 15 * (3 + 3 * [mm]\mu_1[/mm] - 2 * [mm]\mu_2[/mm] ) = 54
Vom Prinzip ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> => -15 [mm]\mu_1[/mm] + 60 [mm]\mu_2[/mm] = 39
>
> nach [mm]\mu_1[/mm] umgestellt
>
> [mm]\mu_1[/mm] = [mm]\bruch{13}{5}[/mm] - 4 [mm]\mu_2[/mm]
Hier ist, denke ich, auch ein Fehler drin ist.
> [mm]\mu_1[/mm] eingesetzt in die E2 Parameterform:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] + ( [mm]\bruch{13}{5}[/mm] - 4 [mm]\mu_2[/mm] ) *
> [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 3}[/mm] + [mm]\mu_2[/mm] * [mm]\vektor{-1 \\ 3 \\ -2}[/mm]
>
> dann kommt bei mir raus:
>
> [mm]\vektor{ \bruch{31}{5} \\ \bruch{-3}{5} \\ \bruch{54}{5}}[/mm]
> + [mm]\mu_2 \vektor{-9 \\ 7 \\ -14}[/mm]
>
>
> das wäre dann also meine Geradengleichung, doch sie stimmt
> nicht, denn meine Lösung sagt das folgendes herauskommen
> muss (hab nur das Ergebnis):
>
> g: [mm]\vec{r}( \lambda)[/mm] = [mm]\bruch{1}{5} \vektor{19 \\ 3 \\ 36}[/mm]
> + [mm]\lambda \vektor{7 \\ -1 \\ 10}[/mm]
Vom Prinzip richtig.
> Also irgendwo muss ich da noch einen Fehler drinhaben
MfG!
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 So 09.04.2006 | | Autor: | IYTI |
jo danke, hab meine fehler eben gefunden und editiert :) verdammte Flüchtigkeit grml
habs aber jetzt raus danke dir nochmal :)
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
