Schnittfläche: Bestimmen von R < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Radius und den Schnittpunkt der Schnittfläche von der Ebene [mm] 2X^2+X^2-2X^2=11 [/mm] ( die X sind jeweils verschieden von einander) und der Kugel [mm] (X-2)^2+(X+1)^2+(X-5)^2=49? [/mm] |
Den Radius der Kugel (r=7) und den Mittelpunkt ( 2,-1,5) kann man ja bestimmen. Was muss ich nun machen, um die Schnittfläche und davon den Radius zu bekommen?
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Hallo dieter334,
> Bestimmen Sie den Radius und den Schnittpunkt der
> Schnittfläche von der Ebene [mm]2X^2+X^2-2X^2=11[/mm] ( die X sind
> jeweils verschieden von einander) und der Kugel
> [mm](X-2)^2+(X+1)^2+(X-5)^2=49?[/mm]
> Den Radius der Kugel (r=7) und den Mittelpunkt ( 2,-1,5)
> kann man ja bestimmen. Was muss ich nun machen, um die
> Schnittfläche und davon den Radius zu bekommen?
Die Ebene E soll doch wohl so aussehen:
[mm]E:\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \* \pmat{2 \\ 1 \\ -2} =11[/mm]
Und die Kugelgleichung:
[mm]K:\left(\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}-\pmat{2 \\ - 1 \\ 5}\right)^{2}=49[/mm]
Bilde nun die Gerade [mm]g:\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{2 \\ -1 \\ 5}+t*\pmat{2 \\ 1 \\ -2}[/mm] und bestimme den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene E.
Daraus erhältst Du dann einen Wert für t.
Gilt [mm]\vmat{t*\pmat{2 \\ 1 \\ -2}} \le 7 [/mm] so schneidet die Ebene die Kugel in einem Schnittkreis.
Der Schnittpunkt ist dann der Mittelpunkt dieses Schnittkreises.
Den Radius des Schnittkreises kann man auch bestimmen:
Es gilt (Satz des Pythagoras): [mm]r_{Schnittkreis}=\wurzel{49-\vmat{t*\pmat{2 \\ 1 \\ -2}}^2} [/mm]
Gruß
MathePower
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