Schnittebene zweier Kugeln < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Do 21.02.2013 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gesucht ist die Ebene, die den Schnittkreis zweier Kugeln enthält.
Kugel 1: [mm] x^2 +y^2 +z^2 [/mm] = 1
Kugel 2: [mm] (x-2)^2 +(y-2)^2 [/mm] + [mm] (z-3)^2 [/mm] = [mm] 3,2^2 [/mm] |
Moin Moin!
1. Ich weiß, dass man eine Schnittkreisebene zweier Kugeln berechnen kann, indem man die Kugeln in Koordinatenform aufstellt und dann die Kugeln von einander abzieht.
Mich interessiert aber der andere Weg!
Ich hoffe mir kann jemand helfen!!!
Die Schnittkreisebene liegt ja orthogonal zu der Geraden der beiden Mittelpunkte, d.h. ein Normalenvektor wäre
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Nun fehlt mir aber der zweite Punkt, um die Normalenform der Ebene aufstellen zu können.
Ich kann natürlich den Abstand der beiden Mittelpunkte berechnen
| [mm] \overrightarrow{M_1M_2} [/mm] | = [mm] \wurzel{17}
[/mm]
und ich kann eine Hilfsgerade g aufstellen: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{2 \\ 2 \\3}
[/mm]
Aber wie könnte z.b. den Schnittkreismittelpunkt berechnen???
bzw. wie könnte ich die Ebene aufstellen?
Vielen Dank für eure Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Do 21.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Gesucht ist die Ebene, die den Schnittkreis zweier Kugeln
> enthält.
>
> Kugel 1: [mm]x^2 +y^2 +z^2[/mm] = 1
>
> Kugel 2: [mm](x-2)^2 +(y-2)^2[/mm] + [mm](z-3)^2[/mm] = [mm]3,2^2[/mm]
> Moin Moin!
>
> 1. Ich weiß, dass man eine Schnittkreisebene zweier Kugeln
> berechnen kann, indem man die Kugeln in Koordinatenform
> aufstellt und dann die Kugeln von einander abzieht.
>
> Mich interessiert aber der andere Weg!
>
> Ich hoffe mir kann jemand helfen!!!
>
> Die Schnittkreisebene liegt ja orthogonal zu der Geraden
> der beiden Mittelpunkte, d.h. ein Normalenvektor wäre
>
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\
2 \\
3}[/mm]
>
> Nun fehlt mir aber der zweite Punkt, um die Normalenform
> der Ebene aufstellen zu können.
>
> Ich kann natürlich den Abstand der beiden Mittelpunkte
> berechnen
>
> | [mm]\overrightarrow{M_1M_2}[/mm] | = [mm]\wurzel{17}[/mm]
>
> und ich kann eine Hilfsgerade g aufstellen: [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm] + [mm]r*\vektor{2 \\
2 \\
3}[/mm]
>
>
> Aber wie könnte z.b. den Schnittkreismittelpunkt
> berechnen???
>
> bzw. wie könnte ich die Ebene aufstellen?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!!
Hallo,
Jeder beliebige Punkt des Schnittkreises bildet zusammen mit den beiden Kreismittelpunkten ein Dreieck. Dessen Seitenlängen sind 1; 3,2 und [mm] $\wurzel{17}$. [/mm] Eine der drei Höhen dieses Dreiecks ist der Schnittkreisradius, und der Fußpunkt dieser Höhe ist der Schnittkreismittelpunkt.
Gruß Abakus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Do 21.02.2013 | | Autor: | hase-hh |
Moin
> Hallo,
> Jeder beliebige Punkt des Schnittkreises bildet zusammen
> mit den beiden Kreismittelpunkten ein Dreieck. Dessen
> Seitenlängen sind 1; 3,2 und [mm]\wurzel{17}[/mm]. Eine der drei
> Höhen dieses Dreiecks ist der Schnittkreisradius, und der
> Fußpunkt dieser Höhe ist der Schnittkreismittelpunkt.
> Gruß Abakus
Naja, ich kann nachvollziehen, dass ein Dreieck entsteht, wenn man bspw. M1 und M2 und P (Punkt der Ebene E ungleich M ').
| [mm] \overrightarrow{M1P} [/mm] | = 1
| [mm] \overrightarrow{M2P} [/mm] | = 3,2
aber es fehlt mir dann immer noch eine dritte Ansatzgleichung!???
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Hallo hase-hh,
auf diese Problematik bin ich auch schon reingefallen. Es ist ganz einfach: du hast nur zwei Unbekannte: den Schnittkreisradius und den Abstand eines der Kugelmittelpunkte zum Schnittkreismittelpunkt. Nennen wir den Abstand x, den Abstand der beiden Kugelmittelpunke d, dann hast du für das andere Dreieck d-x als Höhe (oder als Kathete, wenn du gleich mit rechtwinkligen Dreiecken arbeiten möchtest.
PS: ich habe mal deinen Thread etwas umbenannt, weil da von 'Kugen' die Rede war, das l aber nicht mehr reingepasst hat wegen der Längenbegrenzung der Threadtitel. Ist es so ok für dich?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Do 21.02.2013 | | Autor: | hase-hh |
> Hallo hase-hh,
>
> auf diese Problematik bin ich auch schon reingefallen. Es
> ist ganz einfach: du hast nur zwei Unbekannte: den
> Schnittkreisradius und den Abstand eines der
> Kugelmittelpunkte zum Schnittkreismittelpunkt. Nennen wir
> den Abstand x, den Abstand der beiden Kugelmittelpunke d,
> dann hast du für das andere Dreieck d-x als Höhe (oder
> als Kathete, wenn du gleich mit rechtwinkligen Dreiecken
> arbeiten möchtest.
Wenn ich das richtig verstanden habe, kann ich mit dem Pythagoras jetzt x und d-x ausrechnen,, richtig?
[mm] r_{1}^2 [/mm] = [mm] (d-x)^2 [/mm] + [mm] (r')^2 [/mm]
[mm] r_2^2 [/mm] ? [mm] x^2 [/mm] + [mm] (r')^2
[/mm]
1 = [mm] (\wurzel{17} -x)^2 [/mm] + [mm] (r')^2
[/mm]
1 = 17 [mm] -2*\wurzel{17}*x +x^2 [/mm] + [mm] (r')^2 [/mm]
3,2 = [mm] x^2 [/mm] + [mm] (r')^2 [/mm]
x = [mm] \bruch{13,12}{\wurzel{17}}
[/mm]
d - x = [mm] \bruch{3,88}{\wurzel{17}}
[/mm]
Nun kann ich r' ausrechnen...
[mm] (r')^2 [/mm] = [mm] 3,2^2 [/mm] - [mm] \bruch{13,12^2}{17}
[/mm]
r' = 0,3383
Ist das soweit richtig?
Wie geht es dann weiter?
> PS: ich habe mal deinen Thread etwas umbenannt, weil da von
> 'Kugen' die Rede war, das l aber nicht mehr reingepasst hat
> wegen der Längenbegrenzung der Threadtitel. Ist es so ok
> für dich?
Ja, gerne!
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Hallo hase-hh,
> > Hallo hase-hh,
> >
> > auf diese Problematik bin ich auch schon reingefallen. Es
> > ist ganz einfach: du hast nur zwei Unbekannte: den
> > Schnittkreisradius und den Abstand eines der
> > Kugelmittelpunkte zum Schnittkreismittelpunkt. Nennen wir
> > den Abstand x, den Abstand der beiden Kugelmittelpunke d,
> > dann hast du für das andere Dreieck d-x als Höhe (oder
> > als Kathete, wenn du gleich mit rechtwinkligen Dreiecken
> > arbeiten möchtest.
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, kann ich mit dem
> Pythagoras jetzt x und d-x ausrechnen,, richtig?
>
> [mm]r_{1}^2[/mm] = [mm](d-x)^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
>
> [mm]r_2^2[/mm] ? [mm]x^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
>
>
> 1 = [mm](\wurzel{17} -x)^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
>
> 1 = 17 [mm]-2*\wurzel{17}*x +x^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
>
> 3,2 = [mm]x^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
>
>
> x = [mm]\bruch{13,12}{\wurzel{17}}[/mm]
>
> d - x = [mm]\bruch{3,88}{\wurzel{17}}[/mm]
>
>
> Nun kann ich r' ausrechnen...
>
>
> [mm](r')^2[/mm] = [mm]3,2^2[/mm] - [mm]\bruch{13,12^2}{17}[/mm]
>
> r' = 0,3383
>
Oder [mm]r'=\bruch{8\wurzel{19}}{25\wurzel{17}} [/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
>
Ja.
> Wie geht es dann weiter?
>
Den Schnittkreismittelpunkt erhältst Du, wenn Du eine Gerade
durch die beiden Kugelmittelpunkte legst und diese mit der
Schnittebene schneidest.
>
>
>
> > PS: ich habe mal deinen Thread etwas umbenannt, weil da von
> > 'Kugen' die Rede war, das l aber nicht mehr reingepasst hat
> > wegen der Längenbegrenzung der Threadtitel. Ist es so ok
> > für dich?
>
> Ja, gerne!
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Do 21.02.2013 | | Autor: | hase-hh |
Moin
> > Wenn ich das richtig verstanden habe, kann ich mit dem
> > Pythagoras jetzt x und d-x ausrechnen,, richtig?
> >
> > [mm]r_{1}^2[/mm] = [mm](d-x)^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
> >
> > [mm]r_2^2[/mm] ? [mm]x^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
> >
> >
> > 1 = [mm](\wurzel{17} -x)^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
> >
> > 1 = 17 [mm]-2*\wurzel{17}*x +x^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
> >
> > 3,2 = [mm]x^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
> >
> >
> > x = [mm]\bruch{13,12}{\wurzel{17}}[/mm]
> >
> > d - x = [mm]\bruch{3,88}{\wurzel{17}}[/mm]
> >
> >
> > Nun kann ich r' ausrechnen...
> >
> >
> > [mm](r')^2[/mm] = [mm]3,2^2[/mm] - [mm]\bruch{13,12^2}{17}[/mm]
> >
> > r' = 0,3383
> >
>
>
> Oder [mm]r'=\bruch{8\wurzel{19}}{25\wurzel{17}}[/mm]
>
>
> >
> > Ist das soweit richtig?
> >
>
>
> Ja.
>
>
> > Wie geht es dann weiter?
> >
>
>
> Den Schnittkreismittelpunkt erhältst Du, wenn Du eine
> Gerade
> durch die beiden Kugelmittelpunkte legst und diese mit
> der
> Schnittebene schneidest.
Die Schnittebene will ich doch erst bestimmen (s. Aufgabenstellung!)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Do 21.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Moin
>
> > > Wenn ich das richtig verstanden habe, kann ich mit dem
> > > Pythagoras jetzt x und d-x ausrechnen,, richtig?
> > >
> > > [mm]r_{1}^2[/mm] = [mm](d-x)^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
> > >
> > > [mm]r_2^2[/mm] ? [mm]x^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
> > >
> > >
> > > 1 = [mm](\wurzel{17} -x)^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
> > >
> > > 1 = 17 [mm]-2*\wurzel{17}*x +x^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
> > >
> > > 3,2 = [mm]x^2[/mm] + [mm](r')^2[/mm]
> > >
> > >
> > > x = [mm]\bruch{13,12}{\wurzel{17}}[/mm]
> > >
> > > d - x = [mm]\bruch{3,88}{\wurzel{17}}[/mm]
> > >
> > >
> > > Nun kann ich r' ausrechnen...
> > >
> > >
> > > [mm](r')^2[/mm] = [mm]3,2^2[/mm] - [mm]\bruch{13,12^2}{17}[/mm]
> > >
> > > r' = 0,3383
> > >
> >
> >
> > Oder [mm]r'=\bruch{8\wurzel{19}}{25\wurzel{17}}[/mm]
> >
> >
> > >
> > > Ist das soweit richtig?
> > >
> >
> >
> > Ja.
> >
> >
> > > Wie geht es dann weiter?
> > >
> >
> >
> > Den Schnittkreismittelpunkt erhältst Du, wenn Du eine
> > Gerade
> > durch die beiden Kugelmittelpunkte legst und diese mit
> > der
> > Schnittebene schneidest.
>
> Die Schnittebene will ich doch erst bestimmen (s.
> Aufgabenstellung!)
Hallo,
in dem vorhin von mir erwähnten Dreieck kann man (alle 3 Längen sind bekannt) den Flächeninhalt und die Innenwinkel bestimmen.
Mit dem bekannten Flächeninhalt und der bekannten Grundseite [mm] $M_1M_2$ [/mm] kann man die Höhe auf dieser Grundseite ausrechnen.
Den Abstand des Höhenfußpunktes zu [mm] $M_1$ [/mm] bzw. [mm] $M_2$ [/mm] erhält man durch trigonometrische Beziehungen in den rechtwikligen Teildreiecken.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:42 Fr 22.02.2013 | | Autor: | hase-hh |
> Hallo,
> in dem vorhin von mir erwähnten Dreieck kann man (alle 3
> Längen sind bekannt) den Flächeninhalt und die
> Innenwinkel bestimmen.
> Mit dem bekannten Flächeninhalt und der bekannten
> Grundseite [mm]M_1M_2[/mm] kann man die Höhe auf dieser Grundseite
> ausrechnen.
Naja, ich könnte über den Kosinussatz einen Winkel ausrechnen und dann den Flächeninhalt des Dreiecks über [mm] \bruch{1}{2}*a*b*sin \gamma, [/mm] und dann die Höhe [mm] h_c. [/mm]
Aber wie komme ich dann zum Höhenfußpunkt???
> Den Abstand des Höhenfußpunktes zu [mm]M_1[/mm] bzw. [mm]M_2[/mm] erhält
> man durch trigonometrische Beziehungen in den rechtwikligen
> Teildreiecken.
> Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Fr 22.02.2013 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> > in dem vorhin von mir erwähnten Dreieck kann man (alle
> 3
> > Längen sind bekannt) den Flächeninhalt und die
> > Innenwinkel bestimmen.
> > Mit dem bekannten Flächeninhalt und der bekannten
> > Grundseite [mm]M_1M_2[/mm] kann man die Höhe auf dieser Grundseite
> > ausrechnen.
>
> Naja, ich könnte über den Kosinussatz einen Winkel
> ausrechnen und dann den Flächeninhalt des Dreiecks über
> [mm]\bruch{1}{2}*a*b*sin \gamma,[/mm] und dann die Höhe [mm]h_c.[/mm]
>
> Aber wie komme ich dann zum Höhenfußpunkt???
>
> > Den Abstand des Höhenfußpunktes zu [mm]M_1[/mm] bzw. [mm]M_2[/mm] erhält
> > man durch trigonometrische Beziehungen in den rechtwikligen
> > Teildreiecken.
Lies mal diesen Satz noch einmal. Du braucht nur noch einen weiteren Innenwinkel.
> > Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Fr 22.02.2013 | | Autor: | hase-hh |
Tut mir leid, keine Ahnung!
Ich kann auch die anderen Wnkel des Drieecks berechnen.
Ich kann auch zwei rechtwinklige Teildreiecke bilden. Aber damit habe ich immer noch keinen Punkt der Ebene!
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Hallo nochmal,
ich hab das zwar gerade überflogen, was ihr da mit den Winkeln überlegt habt, aber auf die Schnelle die Notwendigkeit nicht eingesehen. Ich lasse daher die Frage mal auf 'teilweise beantwortet'.
Wenn ich dich richtig verstehe, geht es dir im Prinzip nur darum, nicht den Weg über die Subtraktion der beiden Kugelgleichungen zu gehen?
Dann könntest du den Vektor [mm] \overrightarrow{M_1M_2} [/mm] als Normalenvektor verwenden und jetzt brauchst du noch einen Punkt. Den bekommst du ganz einfach: sei etwa
[mm]g: \vec{x}=\vec{m}_1+t*\bruch{1}{\left|\overrightarrow{M_1M_2}\right|}*\overrightarrow{M_1M_2}[/mm]
die Gerade durch die beiden Kugelmittelpunkte. Normiere deren Richtungsvektor und setze anschließend den Abstand von [mm] M_1 [/mm] zum Schnittkreismittelpunkt für t ein. Wichtig ist halt nur, dass der Richtungsvektor vorher normiert wurde, also Einheitslänge besitzt.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Fr 22.02.2013 | | Autor: | hase-hh |
Das kann ich soweit ja nachvollziehen, allerdings habe ich den Schnittkreismittelpunkt nicht ---> ???
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Hallo,
> Das kann ich soweit ja nachvollziehen, allerdings habe ich
> den Schnittkreismittelpunkt nicht ---> ???
dann hast du es nicht nachvollziehen können. Den Schnittkreismittelpunkt bekomnmst du, wenn du seinen Abstand zu [mm] M_1 [/mm] für t in obige Geradengleichung einsetzt. Und diesen Abstand kennst du, es ist je nach Wahl der Bezeichnungen entweder x oder d-x, schau selbst nach. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Fr 22.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch nur die Ebene zu bestimmen, die den Schnitt der beiden Kugeln enthält !
Ist (x,y,z) ein Punkt diese Schnittes, so erfüllt er die Gleichung
$ [mm] (x-2)^2 +(y-2)^2 [/mm] $ + $ [mm] (z-3)^2 [/mm] $ = $ [mm] 3,2^2 [/mm] $.
Wenn man das ausmultipliziert, bekommt man:
[mm] x^2+y^2+z^2-4x-4y-6z+17=3,2^2.
[/mm]
Wegen [mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] folgt:
[mm] -4x-4y-6z+18=3,2^2
[/mm]
oder
2x+2y+3z=3,88
Die letzte Gl. ist die Gl. der gesuchten Ebene.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:15 Fr 22.02.2013 | | Autor: | hase-hh |
Das ist mir bekannt.
Es ging / geht in meiner Frage ausdrücklich um einen anderen Lösungsweg!
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