Schnitt zwischen Kugel und Kugel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:52 Do 18.03.2004 | | Autor: | Alanis |
Hallöchen ihr,
habe ein Problem. Muss zwei Kugeln zum Schnitt bringen komme aber nicht weiter als bis zu Normalenform einer Geraden. Wenn ich mit beiden Kugelgleichungen ein Gleichungssystem aufstelle und dieses durch Additionsverfahren in eine Normalenform verwandel, was muss ich dann machen ? Vielleicht kann mir jemand helfen ????
Es müsste ja eine Schnittgerade irgendwann herauskommen, aber wie ? das ist die große Frage.
Danke euch, Eure Alanis
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Schonmal vorneweg:
Der Schnitt zwischen zwei Kugeln ist keine Gerade sondern ein Kreis!
Versuch dir das am besten mal vorzustellen, ich halte es für ganz gut nachvollziehbar.
Den Radius dieses Kreises liegt auf einer Normalen der Geraden, die die Mittelpunkte der Kugeln verbindet.
Um das ganze nun genauer zu bestimmen, solltest du die Radien und Abstände der Kugel unbedingt mal angeben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Do 18.03.2004 | | Autor: | Alanis |
Hi,
sicher weiß ich, dass der Schnitt zweier Kugeln ein Kreis ist.
die beiden Kreisgleichungen lauten:
[mm]K1: (x-\begin{pmatrix} 1 \2 1 -2\ 2 \end{pmatrix} ² =21[/mm]
und [mm] K2: (x-\begin{pmatrix} 1 \-2 0 3\ 2 \end{pmatrix}² = 41 [/mm]
Gegeben ist der Schnittpunkt (4/2/2)
Vielleicht helfen diese Angaben weiter,
bis dann, alanis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Do 18.03.2004 | | Autor: | ImperatoM |
Du meinst wohl eher Kugelgleichungen als Kreisgleichungen?
Bei der unteren scheint ein Zeichen zu fehlen, ein Komma, Plus oder irgendetwas.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Do 18.03.2004 | | Autor: | Alanis |
Hi, habe noch nicht viel erfahrung mit dem eingeben von den Matheaufgaben .
Hatte ich nicht geschrieben dass es sich um Kugelgleichungen handelt ?
Ku: (x- vektor (2;1; -2))² = 21
Ku2: ( x-vektor ( -2;0;3))²= 41
danach haben wir eine Gerade hergestellt und wir sollten de Kugelgleichungen in ein Gleicungungssystem einbauen und eine Normalenform bestimmen. Was ist das für eine Normalenform ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Do 18.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alanis, hallo ImperatoM,
> Hi, habe noch nicht viel erfahrung mit dem eingeben von den
> Matheaufgaben .
> Hatte ich nicht geschrieben dass es sich um
> Kugelgleichungen handelt ?
>
> Ku: (x- vektor (2;1; -2))² = 21
>
> Ku2: ( x-vektor ( -2;0;3))²= 41
Nochmal schön gesetzt:
[mm] $K_1: \left( \vec x-\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix} \right)^2=21$
[/mm]
[mm] $K_2: \left( \vec x-\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix} \right)^2=41$
[/mm]
Ein bisschen umgeformt:
[mm] $K_1: (x_1-2)^2+(x_2-1)^2+(x_3+2)^2=21$
[/mm]
[mm] $K_2: (x_1+2)^2+(x_2-0)^2+(x_3-3)^2=41$
[/mm]
> danach haben wir eine Gerade hergestellt und wir sollten
> de Kugelgleichungen in ein Gleicungungssystem einbauen und
> eine Normalenform bestimmen. Was ist das für eine
> Normalenform ?
Das ist dann doch das gleiche Verfahren, das in dem Skript, dessen Link Stefan mittlerweile gepostet hat, ab Seite 83 beschrieben ist. Ich denke, besser kann ich es jetzt auch nicht beschreiben.
Aber ich könnte Fragen beantworten, die sich ergeben, wenn du dir das mal durchliest.
Bis später,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 So 21.03.2004 | | Autor: | Arthur |
man kann das auch noch auf eine andere und - finde ich - einfachere art lösen!
man kann das ganze in zwei dreiecke zerlegen ohne die kugelgleichungen ausmultiplizieren zu müssen und dann zu subtrahieren...2x pythagoras finde ich angenehmer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mo 22.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Arthur!
Dann stell uns doch vielleicht diese Methode anhand des von Alanis geposteten Beispiels einfach mal vor... mir ist das nämlich im Moment nicht klar, muss ich zugeben.
Danke!
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Mo 22.03.2004 | | Autor: | Arthur |
Also:
Man kann sich ja einen beliebigen Schnittpunkt S auf dem Schnittkreis vorstellen.
Für den gilt dann, dass der Abstand zu M1 gleich dem Radius von K1 ist und der Abstand zu M2 ist der Radius von K2.
Die drei Punkte bilden dann ein Dreieck M1M2S das mann sich ja in der Ebene vorstellen kann.
Jetzt gilt: |M1M'| (Vektor von M1 zum Mittelpunkt des Schnittkreises M') = r1²/|M1M2| (Kathetensatz)
Jetzt habe ich also den Abstand d von M1 zu M'. Jetzt nehme ich vom Vektor M1M2 den Einheitsvektor und addiere den d-mal zum Punkt M1 und habe dann die Koordinaten des Punktes M'. Der Radius entspricht der Höhe meines Dreiecks und die erhalte ich durch den Satz des Pythagoras ( r1²=|M1M'|²+r'²). Jetzt habe ich also meinen Schnittkreis der ja in der Ebene liegt die durch M' und den Normalenvektor M1M2 definiert ist.
Hoffe, dass da jetzt kein Denkfehler enthalten ist :)
moment da stimmt doch was nicht...das mit dem kathetensatz gilt nicht in jedem dreieck
aber man kann das trotzdem so ähnlich rechnen...und zwar
man hat ja zwei rechtwinklige dreiecke(M1M'S und M'M2S...und die haben die gemeinsame seite M'S)
die gleichungen kann man gleichsetzen und bekommt so auch M'
also anstatt r1²/|M1M2| = |M1M'| kann man sagen
(r1²-r2²+|M1M2|²)/2*|M1M2| = |M1M'|
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Mo 22.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Arthur!
> moment da stimmt doch was nicht...das mit dem kathetensatz
> gilt nicht in jedem dreieck
Das wollte ich auch gerade anmerken 
> aber man kann das trotzdem so ähnlich rechnen...und zwar
> man hat ja zwei rechtwinklige dreiecke(M1M'S und
> M'M2S...und die haben die gemeinsame seite M'S)
> die gleichungen kann man gleichsetzen und bekommt so auch
> M'
>
> also anstatt r1²/|M1M2| = |M1M'| kann man sagen
> (r1²-r2²+|M1M2|²)/2*|M1M2| = |M1M'|
Das habe ich auch herausbekommen, allerdings steht das zweite |M1M2| im Nenner:
(r1²-r2²+|M1M2|²)/(2*|M1M2|) = |M1M'|
bzw. schöner:
[mm] $|M_1M'|=\bruch{r_1^2-r_2^2+|M_1M_2|^2}{2|M_1M_2|}$
[/mm]
Ich muß sagen, dass mir deine Lösung auch sehr gut gefällt, schließlich kommt sie fast ganz ohne Vektorrechnung aus.
Viele Grüße,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Mo 22.03.2004 | | Autor: | Arthur |
bei mir steht sie auch im nenner
zumindest auf meinem fresszettel :)
hab nur hier die klammern vergessen :(
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http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Vektoren/Vektorgeometrie/65014%20Kugel%204%20SODOL.pdf