Schnitt zweier Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die Werte von a,b und c so, dass gilt:
E1: x = [mm] \vektor{a \\ 3 \\ 1} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + s [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
E2: x = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 5} [/mm] + r* [mm] \vektor{b \\ 1 \\ 1} [/mm] + s* [mm] \vektor{c \\ 2 \\1}
[/mm]
1. Aufgabe: E1 = E2
2. Aufgabe: E1, E2 parallel
3. Aufgabe E1, E2 schneiden sich in einer Geraden
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Ich habe damit angefangen, beide Parametergleichungen gleich zu setzen und über ein lineares Gleichungssystem aufzulösen. Dabei habe ich z.B. r auf der linken Seite stehen und r* und s* auf der rechten Seite; nun weiß ich leider nicht mehr weiter - eigentlich sollte doch so etwas wie 0 = 0 (w) oder 0 = .. (f) herauskommen - dies ist natürlich von den Parametern abhängig. Jedoch ist es sehr schwer bei drei Parametern noch durchzublicken - gibt es vielleicht eine einfachere Methode - diese Aufgabe zu lösen - wir sollen aber keine Determinanten verwenden. Ich weiß leider nicht, wie ich aber die linearen Gleichungssysteme so verwenden kann, dass ich anhand der dann noch übrig gebliebenen Parameter eine Aussage treffen kann.
Vielleicht kann mir jemand einen Lösungsvorschlag unterbreiten oder einen nützlichen Tipp geben.
VIELEN VIELEN DANK
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Hallo Einstein_1977,
die viel einfachere Lösung lautet Koordinatenform. Es reicht, wenn du eine der beiden Ebenen transformierts und dann die Parameterversion in die Koordinatenform einsetzt.
Der Anfang funktioniert folgendermaßen:
Koordinatenform: [mm] $n_1 x_1 +n_2 x_2 +n_3 x_3 [/mm] +d=0$
Parameterform: [mm] $\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}+r*\vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3}+s*\vektor{c_1 \\ c_2 \\ c_3}$
[/mm]
die Parameterform zerlegst du in 3 Zeilen, [mm] $x_1=a_1 +r*b_1 +t*c_1~,x_2=...,~x_3=...$ [/mm] die du in die Koordinatenform einsetzt.
Daraus wird dann eine Funktion s(t) oder t(s) (kannst du dir raussuchen) und in die Parameterform wieder einsetzten.
Den Schluss darfst du selber rausfinden ;)
Gruß
Slartibartfast
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