Schnitt von Untervektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Di 21.11.2006 | | Autor: | ecko |
Seien U1, U2 zwei Unterräume von V, zeigen Sie
a.) Der Schnitt U1 [mm] \cap [/mm] U2 ist ein Unterraum von V
b.) Die Summe u1 + U2 ={u1 + u2 | u1 [mm] \in [/mm] U1, u2 [mm] \in [/mm] U2} ist ein Unterraum von V
c.)Die Vereinigung U1 U U2 ist nur dann ein Unterraum von V, wenn U1 [mm] \subseteq [/mm] U2 oder U2 [mm] \subseteq [/mm] U1 gelten
Kann mir mal bitte jemand erklären, wie man diese Aufgaben richtig löst, danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Di 21.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib dir erstmal auf, wann U ein Unterraum von V ist.
dann untersuch, ob die Schnitt menge von 2 Unterräumen wieder alle diese Eigenschaften erfüllt.
Bei all solchen Beweisen ist es immer wieder daselbe: Definitionen aufschreiben, eine nach der anderen nachweisen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Di 21.11.2006 | | Autor: | Nansen |
Hallo ecko!
Für die Teile a und b schau doch mal hier:
https://matheraum.de/read?t=199680 Zumindest a) steht da schon praktisch komplett gelöst.
Leider ist (mal wieder) die Zeit knapp. Wenn Du die Frage früher geposted hättest, dann hätten wir sie stückweise diskutieren können, das hätte dann auch mehr Lerneffekt gehabt :) Aber naja:
Also Aufgabe im Link da oben wurde an Hand eines Beispiels klar gemacht, dass die Vereinigung von Unterräumen in der Regel kein Unterraum ist. Hier sollst Du zeigen, dass die Vereinigung sogar nur dann wieder ein Unterraum ist, wenn dieser Spezialfall erfüllt ist.
Du kannst den Beweis am einsichtigsten führen, in dem Du einen Widerspruch formulierst. Dazu machst Du folgendes:
Nimm an, dass [mm] H_1 \nsubseteq H_2 [/mm] gilt und folgere daraus, dass [mm] H_2 \subseteq H_1 [/mm] folgen muss.
Nehmen wir an, es wäre [mm] H_2 \nsubseteq H_1. [/mm] Da die beiden Unterräume sind, sind sie nicht leer, es existiert also ein [mm] h_1 \in H_1 \backslash H_2 [/mm] und ein [mm] h_2 \in H_2 \backslash H_1. [/mm]
Da ja nun [mm] H_1 \cup H_2 [/mm] ein Unterraum sein soll, muss er abgeschlossen sein, was heißt, dass [mm] h_1 h_2 \in H_1 \cup H_2 [/mm] ist. Wir haben aber [mm] H_1 [/mm] und [mm] H_2 [/mm] als disjunkt vorausgesetzt, also liegt [mm] h_1 h_2 [/mm] entweder in [mm] H_1 [/mm] oder in [mm] H_2. [/mm]
Ich mache jetzt nur den Fall, dass [mm] h_1 h_2 [/mm] in [mm] H_1 [/mm] liegt, den anderen Fall [mm] h_1 h_2 \in H_2 [/mm] musst Du dann noch machen.
Sei also [mm] h_1 h_2 \in H_1, [/mm] dann liegt ja auch [mm] (h_2 h_1)^{-1} \in H_1 [/mm] und auch [mm] h_1 \cdot (h_2 h_1)^{-1} \in H_1 [/mm] und damit dann [mm] h_2^{-1} [/mm] und damit auch [mm] h_2 \in H_1, [/mm] was zu einem Widerspruch führt.
Jetzt musst Du noch den anderen Fall zeigen. Auch heißt die Aufgabe "genau dann, wenn". Du musst also noch zeigen, dass wenn [mm] H_1 \subseteq H_2 [/mm] oder [mm] H_2 \subseteq H_1 [/mm] gilt, [mm] H_1 \cup H_2 [/mm] ein Unterraum ist. Dies geht aber ganz leicht.
Viele Grüße
Nansen
|
|
|
|
