Schnitt von Körpererweiterunge < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $\IQ$ [/mm] ein Körper und [mm] $(\mu_m,*)$, $(\mu_n,*)$ [/mm] endliche Untergruppen von [mm] \IQ, [/mm] also die Menge der m-ten, n-ten Einheitswurzeln.
Zeige:
[mm] $\IQ(\mu_m)\cap \IQ(\mu_n) [/mm] = [mm] \IQ(\mu_m\cap \mu_n) [/mm] $ |
Hey Leute,
ich zermatter mir hier den Kopf:
[mm] $"\supseteq"$ [/mm] klar
[mm] $"\subseteq"$ [/mm]
Hier komm ich nicht klar. Mein Ansatz ist (ich hänge aber nicht an diesem Ansatz):
Wenn ich mir das Körperdiagramm mit
[mm] $$\IQ(\mu_m),\IQ(\mu_n)\supseteq\IQ(\mu_m)\cap \IQ(\mu_n) \supseteq \IQ(\mu_m\cap \mu_n) \supseteq \IQ$$
[/mm]
aufzeichne, will ich zeigen, dass es keinen Körper K mit
[mm] $$\IQ(\mu_m),\IQ(\mu_n)\supset [/mm] K [mm] \supset \IQ(\mu_m\cap \mu_n) \supseteq \IQ$$
[/mm]
gibt.
Erstmal habe ich
[mm] $$\mu_m\cap \mu_n [/mm] = [mm] \mu_{ggT(m,n)}$$
[/mm]
gezeigt und weiter betrachte ich die Grade der Körpererweiterungen und bringe so die Eulersche-Phi-Funktion ins Spiel.
Es ist also erstmal gesammelt:
- [mm] $[\IQ(\mu_m) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] \phi(m)$
[/mm]
- [mm] $[\IQ(\mu_n) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] \phi(n)$
[/mm]
- [mm] $[\IQ(\mu_{ggT(m,n)}) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] \phi(ggT(m,n))$
[/mm]
Folglich ist:
- [mm] $k:=[\IQ(\mu_m) [/mm] : [mm] \IQ(\mu_{ggT(m,n)})] [/mm] = [mm] \frac{\phi(m)}{\phi(ggT(m,n))}$
[/mm]
- [mm] $l:=[\IQ(\mu_n) [/mm] : [mm] \IQ(\mu_{ggT(m,n)})] [/mm] = [mm] \frac{\phi(n)}{\phi(ggT(m,n))}$
[/mm]
Jetzt muss für den Grad eines solchen Körpers K
$$1< [K: [mm] \IQ(\mu_{ggT(m,n)})] [/mm] < min(k,l)$$
gelten, da ansonsten $K= [mm] \IQ(\mu_{ggT(m,n)})$ [/mm] oder [mm] $K\in\{\IQ(\mu_m),\IQ(\mu_n)\}$ [/mm] wäre.
Wenn ich also zeigen kann, dass $ggT(k,l) = 1$ ist oder es eine Primzahl p mit $p= ggT(k,l) [mm] \in\{k,l\}$ [/mm] (#) gibt, so könnte es ein solches K nicht geben und die Behauptung wäre gezeigt.
Ich habe diese Aussage(#) an ein paar Beispielen ausprobiert und dort stimmte sie.
Deshalb glaube ich, dass sie stimmt. Doch krieg ich sie nicht bewiesen.
Bitte um Hilfe, ob bei diesem Ansatz oder Hinweise zu anderen Ansätzen.
Vielen Dank schonmal
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mo 02.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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