Schnitt von 2 Vektorhüllen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Fr 18.04.2008 | | Autor: | jakob99 |
| Aufgabe | | Man berechne: <(2,1,-1),(1,0,2)> [mm] \cap [/mm] <(1,1,0),(2,-3,1)> |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
also,
habe mir folgendes schon überleget:
[mm] \alpha_1 \vektor{2 \\ 1 \\ -1} +\alpha_2 \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] + [mm] \beta_1 \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \beta_2 \vektor{2 \\ -3 \\ 1}
[/mm]
Ergibt die 3 Gleichungen:
I. [mm] 2\alpha_1+\alpha_2= \beta_1+2\beta_2
[/mm]
II. [mm] \alpha_1=\beta_1-3\beta_2
[/mm]
III. [mm] -\alpha_1+2\alpha_2=\beta_2
[/mm]
Was muss ich jetzt machen bzw. was muss ich herausbekommen? Ich soll ja denn Schnittpunkt errechnen. Wie erhalte ich diesen?
Danke für eure Hilfe.
Gruß jakob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Fr 18.04.2008 | | Autor: | alexwie |
Hi
Wenn sich zwei Ebenen Schneiden dann schneiden sie sich in einer Geraden und nicht in einem Punkt. Sie können auch paralell sein. Dann sind die beiden Ebenen entweder gleich oder ihre Schnittmenge ist {}.
Was du hier machen musst ist eine variable (z.B. [mm] \beta_2) [/mm] umbenennen in t als Parameter und löst das gleichungssystem. Die Lösungen [mm] \alpha_1,\alpha_2\beta_1 [/mm] sind dann von t abhängig.
und du erhältst eine gerade.
Lg Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Fr 18.04.2008 | | Autor: | jakob99 |
ich habe dann raus:
20t=0
und 2 [mm] \beta_1 [/mm] =0
???????
Irgendwie klappt das nicht.
Bitte um weitere Tipps.
Danke
Jakob
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> Man berechne: <(2,1,-1),(1,0,2)> [mm]\cap[/mm] <(1,1,0),(2,-3,1)>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi,
> also,
>
> habe mir folgendes schon überleget:
>
> [mm]\alpha_1 \vektor{2 \\ 1 \\ -1} +\alpha_2 \vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
> + [mm]\beta_1 \vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]\beta_2 \vektor{2 \\ -3 \\ 1}[/mm]
>
> Ergibt die 3 Gleichungen:
>
> I. [mm]2\alpha_1+\alpha_2= \beta_1+2\beta_2[/mm]
> II.
> [mm]\alpha_1=\beta_1-3\beta_2[/mm]
> III. [mm]-\alpha_1+2\alpha_2=\beta_2[/mm]
>
> Was muss ich jetzt machen bzw. was muss ich herausbekommen?
> Ich soll ja denn Schnittpunkt errechnen. Wie erhalte ich
> diesen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wie Dir bereits gesagt wurde, wird es niemals einen einzigen Schnittpunkt geben.
Wenn die Ebenen gleich sind, bekommst Du die Ebene als Schnittebene, sind sie parallel und nicht gleich, ist die Schnittmenge lerr, ansonsten eine Gerade.
Herausbekommen solltest Du eine Beziehung zwischen [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] bzw. zwischen [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2.
[/mm]
Z.B. (!) sowas: [mm] a_2= 5a_1.
[/mm]
Ersetzt Du dann in Deiner Ebenengleichung das [mm] a_2 [/mm] durch [mm] 5a_1, [/mm] so hast Du die Schnittgerade dastehen.
Mach mal!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Fr 18.04.2008 | | Autor: | jakob99 |
ich habe rausbekommen:
[mm] \alpha_2 [/mm] = 2/3 [mm] \alpha_1
[/mm]
wenn ich das jetzt einsetzte:
[mm] \alpha_1 \vektor{2 \\ 1 \\ -1} +\bruch{2}{3} \alpha_1 \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] = [mm] \beta_1 \vektor{1 \\ 1 \\ 0} +\beta_2 \vektor{2 \\ -3 \\ 1} [/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \alpha_1 \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] + [mm] \alpha_1 \vektor{\bruch{2}{3} \\ 0 \\ \bruch{4}{3}} [/mm] = [mm] \beta_1 \vektor{1 \\ 1 \\ 0} +\beta_2 \vektor{2 \\ -3 \\ 1} [/mm]
STimmt das so?
Wenn ja, wo/was ist meiner Schnittgerade?
Jakob
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> ich habe rausbekommen:
>
> [mm]\alpha_2[/mm] = 2/3 [mm]\alpha_1[/mm]
>
> wenn ich das jetzt einsetzte:
>
> [mm]\alpha_1 \vektor{2 \\ 1 \\ -1} +\bruch{2}{3} \alpha_1 \vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
> Wenn ja, wo/was ist meiner Schnittgerade?
Hallo,
ich habe das nicht nachgerechnet.
Wenn Du [mm] \alpha_2= 2/3\alpha_1 [/mm] erhalten hast, dann ist
[mm] \vektor{x \\ y\\z} =\alpha_1 \vektor{2 \\ 1 \\ -1} +\bruch{2}{3} \alpha_1 \vektor{1 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
[mm] \alpha_1 \vektor{\bruch{8}{3} \\ 1 \\ \bruch{1}{3}}
[/mm]
Deine Schnittgerade.
Gruß v. Angela
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