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| Aufgabe | Sei (M,d) ein metrischer Raum.
Zeigen Sie, dass N dicht in M [mm] \gdw [/mm] O [mm] \cap [/mm] N [mm] \not= \emptyset [/mm] für alle offenen Teilmengen O [mm] \subset [/mm] M |
Guten Tag
N dicht in M [mm] \Rightarrow [/mm] clos(N)=M mit clos(N):=Abschluss von N . Ist dann M abgeschlossen...?
O [mm] \cap [/mm] N [mm] \not= \emptyset \forall [/mm] solche O heisst doch einfach, dass entweder N=M oder N=inn(M) mit inn(M):= inneres von M ??
Kann mir da vlt. jemand mal einen Tipp geben bitte, wie ich die Äquivalenz formal zu zeigen habe?
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Mo 24.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei (M,d) ein metrischer Raum.
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> Zeigen Sie, dass N dicht in M [mm]\gdw[/mm] O [mm]\cap[/mm] N [mm]\not= \emptyset[/mm]
> für alle offenen Teilmengen O [mm]\subset[/mm] M
Hier sollte noch hinzu O [mm] \ne \emptyset.
[/mm]
> Guten Tag
>
> N dicht in M [mm]\Rightarrow[/mm] clos(N)=M mit clos(N):=Abschluss
> von N . Ist dann M abgeschlossen...?
M ist doch der gesamte metr. Raum. Der ist abgeschlossen.
>
> O [mm]\cap[/mm] N [mm]\not= \emptyset \forall[/mm] solche O heisst doch
> einfach, dass entweder N=M oder N=inn(M) mit inn(M):=
> inneres von M ??
Nein. Nimm M= [mm] \IR [/mm] und N= [mm] \IQ.
[/mm]
>
> Kann mir da vlt. jemand mal einen Tipp geben bitte, wie ich
> die Äquivalenz formal zu zeigen habe?
Für [mm] \Rightarrow [/mm] : nimm eine nichtleere offene Teilmenge von M her und nimm an, dass O [mm] \cap [/mm] N = [mm] \emptyset [/mm] ist.
Jetzt mach Du mal weiter.
FRED
>
> Grüsse
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Wieso muss ein gesamter metrischer Raum abgeschlossen sein? Ich dachte, das sei nur so, wenn dieser vollständig ist?
Annahme: N [mm] \cap [/mm] O = [mm] \emptyset \Rightarrow \not\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \cap [/mm] O
Wenn N [mm] \cap [/mm] O = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] (N [mm] \cap [/mm] O [mm] )^c [/mm] = [mm] N^c \cup O^c [/mm] = M
[mm] O^c [/mm] ist geschlossen und [mm] N^c [/mm] wissen wir nicht, ob es geschlossen oder offen ist. Ich sehe nun nicht ein, wo der Widerspruch ist?
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mo 24.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wieso muss ein gesamter metrischer Raum abgeschlossen sein?
> Ich dachte, das sei nur so, wenn dieser vollständig ist?
Da liegst Du falsch. M ist abg., denn [mm] M^c [/mm] ist offen.
>
>
> Annahme: N [mm]\cap[/mm] O = [mm]\emptyset \Rightarrow \not\exists[/mm] x [mm]\in[/mm]
> N [mm]\cap[/mm] O
Es ex. ein x [mm] \in [/mm] O mit x [mm] \notin [/mm] N. O ist offen ...
FRED
>
> Wenn N [mm]\cap[/mm] O = [mm]\emptyset \Rightarrow[/mm] (N [mm]\cap[/mm] O [mm])^c[/mm] = [mm]N^c \cup O^c[/mm]
> = M
>
> [mm]O^c[/mm] ist geschlossen und [mm]N^c[/mm] wissen wir nicht, ob es
> geschlossen oder offen ist. Ich sehe nun nicht ein, wo der
> Widerspruch ist?
>
> Grüsse
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Was heisst iat ag.?
x [mm] \in [/mm] O aber x [mm] \notin [/mm] N . [mm] B(x,\delta) [/mm] kann jetzt ja Teilmenge von N sein, das ist doch kein Problem. Wo ist der Widerspruch? O ist offen also [mm] \exists \delta>0 [/mm] : [mm] B(x,\delta) \subset [/mm] O
Wo ist der Widerspruch?
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Mo 24.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Was heisst iat ag.?
Hab mich in der Eile vertippt: ist abg. sollte das heißen.
>
>
> x [mm]\in[/mm] O aber x [mm]\notin[/mm] N . [mm]B(x,\delta)[/mm] kann jetzt ja
> Teilmenge von N sein, das ist doch kein Problem. Wo ist der
> Widerspruch? O ist offen also [mm]\exists \delta>0[/mm] :
> [mm]B(x,\delta) \subset[/mm] O
Dann ist [mm] B(x,\delta) \cap [/mm] N = [mm] \emptyset. [/mm] Kann das sein ?
FRED
>
> Wo ist der Widerspruch?
>
> Grüsse
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Intuitiv ist schon klar, dass [mm] B(x,\delta)\cap [/mm] N nicht [mm] \emptyset [/mm] sein kann (hier Widerspruch) aber wie ist das zu begründen?
Einerseits würde ich intuitiv sagen, in jeder Epsilon-Umgebung einer dichten Menge muss auch ein Randelement sein, aber eben, formal in diesem Fall?
So ist neben einem Element in [mm] \IQ [/mm] immer auch ein Element aus [mm] \IR \setminus \IQ [/mm] , sprich in jeder Umgebung davon.
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Intuitiv ist schon klar, dass [mm]B(x,\delta)\cap[/mm] N nicht
> [mm]\emptyset[/mm] sein kann (hier Widerspruch) aber wie ist das zu
> begründen?
nach Voraussetzung war
[mm] $$\text{clos}(N)=M\,.$$
[/mm]
Nun hast Du [mm] $\emptyset \not=O \subseteq [/mm] M$ offen hergenommen,
so dass $O [mm] \cap [/mm] N = [mm] \emptyset$ [/mm] ist. Dann gibt's ja ein $x [mm] \in [/mm] O$ mit $x [mm] \notin N\,,$ [/mm] und richtigerweise wurde erkannt,
dass es dann auch eine (genügend kleine) Umgebung um [mm] $x\,$ [/mm] gibt,
die komplett in [mm] $O\,$ [/mm] liegt.
Insbesondere kann diese Umgebung dann auch kein Element aus [mm] $N\,$
[/mm]
enthalten!!
Es war aber auch $x [mm] \in M\,,$ [/mm] und nach
Voraussetzung ist [mm] $M=\text{clos}(N)\,.$ [/mm]
Wenn wir aber nun nur $x [mm] \in \text{clos}(N)\setminus [/mm] N$ betrachten, was
muss dann alleine deswegen [mm] $x\,$ [/mm] bzgl. [mm] $N\,$ [/mm] sein?
(Schlag' mal den Begriff "Häufungspunkt einer Menge" nach!)
Geht das denn, wenn Du [mm] $B(x,\delta) \cap N=\emptyset$ [/mm] ist?
Tipp:
Mach' Dir mal zwei Skizzen:
1. Skizze: Was müßte [mm] $x\,$ [/mm] bzgl. [mm] $N\,$ [/mm] sein? (Sowas wie "unendlich nahe
an [mm] $N\,$ [/mm] liegen, ohne zu [mm] $N\,$ [/mm] dazuzugehören!")
2. Skizze: Hier skizzierst Du das, was aus dem Wissen [mm] $B(x,\delta) \cap N=\emptyset$
[/mm]
folgt!
Dann sollte der Widerspruch auch "skizzenhaft ersichtlich sein"!
Gruß,
Marcel
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Hallo
Ja ich danke euch erstmal für die Hilfe.
Klar, wenn x [mm] \in [/mm] clos(N) [mm] \setminus [/mm] N ist x [mm] \in [/mm] Rand(N) [mm] \Rightarrow [/mm] x Häufungspunkt von N und M [mm] \setminus [/mm] N
[mm] \Rightarrow B(x,\delta) \cap [/mm] N [mm] \not= \emptyset [/mm] was dann ein Widerspruch ist weil der Ball ja in O war :)
Wie geht die andere Richtung:
x [mm] \in [/mm] O [mm] \cap [/mm] N [mm] \Rightarrow \exists \delta [/mm] >0 : [mm] B(x,\delta) \subset [/mm] O [mm] \subset [/mm] M .... dieser Ball muss dann aber nicht in O [mm] \cap [/mm] N bleiben. Wie ist hier vorzugehen?
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
>
> Ja ich danke euch erstmal für die Hilfe.
>
> Klar, wenn x [mm]\in[/mm] clos(N) [mm]\setminus[/mm] N ist x [mm]\in[/mm] Rand(N)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x Häufungspunkt von N und M [mm]\setminus[/mm] N
> [mm]\Rightarrow B(x,\delta) \cap[/mm] N [mm]\not= \emptyset[/mm] was dann ein
> Widerspruch ist weil der Ball ja in O war :)
>
>
> Wie geht die andere Richtung:
>
> x [mm]\in[/mm] O [mm]\cap[/mm] N [mm]\Rightarrow \exists \delta[/mm] >0 : [mm]B(x,\delta) \subset[/mm]
> O [mm]\subset[/mm] M .... dieser Ball muss dann aber nicht in O [mm]\cap[/mm]
> N bleiben. Wie ist hier vorzugehen?
überlegt habe ich mir dazu noch nichts. Aber ich verstehe nicht ganz, was
Du schreibst. Hier ist doch zu zeigen:
N dicht in M $ [mm] \Leftarrow [/mm] $ O $ [mm] \cap [/mm] $ N $ [mm] \not= \emptyset [/mm] $ für alle offenen Teilmengen O $ [mm] \subset [/mm] $ M
Mittels Kontraposition kann man in äquivalenter Weise als beweisen:
N NICHT dicht in M $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Es gibt (mindestens) eine offene
Teilmenge $O [mm] \subseteq [/mm] M$ so, dass $O [mm] \cap [/mm] N [mm] \blue{\textbf{\;=\;}}\emptyset\,.$
[/mm]
Das klingt doch irgendwie machbar... Man beginnt also: Weil [mm] $N\,$ [/mm] nicht
dicht in [mm] $M\,$ [/mm] liegt ist $M [mm] \setminus \text{clos}(N) \not= \emptyset\,.$
[/mm]
(Beachte [mm] $\text{clos}(N) \subseteq [/mm] M$.)...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Di 25.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
> Wie geht die andere Richtung:
>
> x [mm]\in[/mm] O [mm]\cap[/mm] N [mm]\Rightarrow \exists \delta[/mm] >0 : [mm]B(x,\delta) \subset[/mm]
> O [mm]\subset[/mm] M .... dieser Ball muss dann aber nicht in O [mm]\cap[/mm]
> N bleiben. Wie ist hier vorzugehen?
Laut Voraussetzung liegt in jeder nichtleeren offenen Teilmenge von M mindestens ein Element aus N. Nun beachte, daß Bälle offen und nichtleer sind ...
Gruß,
Wolfgang
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Danke.
Ann: Mit x [mm] \in [/mm] M beliebig [mm] \exists B(x,\delta) \subset [/mm] M mit [mm] B(x,\delta) \not\subset [/mm] N
Sei y [mm] \in B(x,\delta) [/mm] , y [mm] \notin [/mm] N Dann ist [mm] B(y,\delta) \cap [/mm] N [mm] \not= \emptyset [/mm] ... ?
Mit z [mm] \in B(y,\delta) \cap [/mm] N
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Di 25.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Korrigiert nach Hinweis von Marcel.
> Danke.
>
> Ann: Mit x [mm]\in[/mm] M beliebig [mm]\exists B(x,\delta) \subset[/mm] M mit
> [mm]B(x,\delta) \not\subset[/mm] N
>
> Sei y [mm]\in B(x,\delta)[/mm] , y [mm]\notin[/mm] N Dann ist [mm]B(y,\delta) \cap[/mm]
> N [mm]\not= \emptyset[/mm] ... ?
>
> Mit z [mm]\in B(y,\delta) \cap[/mm] N
>
> ?
?? Dies verstehe ich jetzt gar nicht.
Wir wollen zeigen:
Ist [mm] $N\cap [/mm] O [mm] \ne \emptyset$ [/mm] für jede nichtleere offene Menge O, so liegt N dicht in M.
Da jeder Ball B eine nichtleere offene Menge ist, ist [mm] $N\cap [/mm] B$ ist nichtleer. Damit liegt in B mindestens ein Element von N. Und dies bedeutet laut Definition, daß N dicht in M liegt. Fertig.
So meinte ich das.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Di 25.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Danke.
> >
> > Ann: Mit x [mm]\in[/mm] M beliebig [mm]\exists B(x,\delta) \subset[/mm] M mit
> > [mm]B(x,\delta) \not\subset[/mm] N
> >
> > Sei y [mm]\in B(x,\delta)[/mm] , y [mm]\notin[/mm] N Dann ist [mm]B(y,\delta) \cap[/mm]
> > N [mm]\not= \emptyset[/mm] ... ?
> >
> > Mit z [mm]\in B(y,\delta) \cap[/mm] N
> >
> > ?
>
> ?? Dies verstehe ich jetzt gar nicht.
>
> Wir wollen zeigen:
>
> Ist [mm]N \red{\;\cup\;} O \ne \emptyset[/mm]
da sollte [mm] $\red{\;\cap\;}$ [/mm] stehen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Di 25.09.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Wir wollen zeigen:
> >
> > Ist [mm]N \red{\;\cup\;} O \ne \emptyset[/mm]
>
> da sollte [mm]\red{\;\cap\;}[/mm] stehen!
Stimmt. Danke!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo plabovschby,
> Intuitiv ist schon klar, dass [mm]B(x,\delta)\cap[/mm] N nicht
> [mm]\emptyset[/mm] sein kann (hier Widerspruch) aber wie ist das zu
> begründen?
Was heißt denn, N liegt dicht in M? Laut Definition doch wohl, daß in jedem Ball ein Element von N liegt. Und dies widerspricht [mm] $B(x,\delta)\cap [/mm] N = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Übrigens glaube ich nicht, daß dies irgend jemandem "intuitiv" klar sein kann, da es doch sehr verschiedene metrische Räume gibt. Da bleibt einem nur die Logik, um Eigenschaften metrischer Räume einzusehen.
Gruß Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wieso muss ein gesamter metrischer Raum abgeschlossen sein?
> Ich dachte, das sei nur so, wenn dieser vollständig ist?
neben Freds Bemerkung: Eine Teilmenge $A [mm] \subseteq [/mm] M$ des metrischen
Raums [mm] $(M,d)\,$ [/mm] ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede Folge in
[mm] $A\,$ [/mm] (d.h. alle Folgenglieder liegen in [mm] $A\,$), [/mm] die einen Grenzwert in [mm] $M\,$ [/mm]
hat (in [mm] $M\,$ [/mm] konvergiert die Folge also!), gilt, dass deren Grenzwert auch
in [mm] $A\,$ [/mm] liegt.
Nenn' mir also mal bitte eine Folge in [mm] $M\,,$ [/mm] die einen Grenzwert in [mm] $M\,$
[/mm]
hat, die aber erfüllt, dass deren Grenzwert nicht in [mm] $M\,$ [/mm] liegt. Wenn Dir
das gelingen würde, hättest Du gezeigt, dass [mm] $M\,$ [/mm] nicht abgeschlossen
wäre. Aber lies' Dir mal genau durch, was Du zu zeigen hättest. Das wird
Dir also nicht gelingen!!
P.S. In vollständigen metrischen Räumen sind alle Cauchyfolgen
konvergent, das ist die charakterisierende Eigenschaft von
"Vollständigkeit". Da hast Du vermutlich was durcheinander gebracht!
Gruß,
Marcel
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