Schnitt Körper-Ebene < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Pet |
| Aufgabe | Das Volumen eines Körpers in [mm] \IR^{3} [/mm] ist in zylindrischen Koordinaten gegeben (x=r cos [mm] \Phi, [/mm] y = r sin [mm] \Phi, [/mm] z = z ; 0 [mm] \le \Phi \le [/mm] 2 [mm] \pi, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] r ) als
[mm] \integral_{\Phi=0}^{2 \pi}{\integral_{r=0}^{2}{\integral_{z=-1}^{\Phi}{r dz dr d\Phi}}}
[/mm]
Berechne das Volumen des Körpers und skizziere die Schnittfläche des Körpers mit der (y,z)-Ebene |
Das Volumen habe ich berechnet, es ist V = [mm] 4\pi^{2} [/mm] + [mm] 4\pi,
[/mm]
was bei der Skizzierung vom Schnitt des Körpers mit der y,z-Ebene rauskommt, weiß ich dank Lösungsblatt auch, nur nicht wieso. Kann mir das jemand erklären?
Die "Grundfläche" ist ein Kreis mit Radius 2 aber die Höhe kann ich mir nicht vorstellen.
Lösung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Danke im Vorraus
Pet
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Pet,
ich glaube, dass die mitgelieferte Zeichnung
noch nicht die Lösung selber ist, sondern erst
eine Vorskizze dazu. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
siehe die folgende Mitteilung !
Bei der Skizze, die ich mir gemacht habe,
sehe ich so etwas wie ein architektonisches Gebilde
oder die Spitze eines Bohrers. Die Deckfläche des
Körpers ist eine Schraubenfläche - ähnlich einer
Wendeltreppe, aber ohne Stufen. Zu jedem Winkel [mm] \Phi
[/mm]
enthält diese Fläche eine horizontale (in der Höhe [mm] z=\Phi
[/mm]
liegende, zur x-y-Ebene parallel verlaufende), von der
z-Achse im Winkel [mm] \Phi [/mm] ausstrahlende Strecke der Länge 2.
LG al-Chwarizmi
Nebenbei:
Wenn man sich diesen Körper wirklich anschaulich
vorstellen kann, ist es möglich, sein Volumen ohne
Integration, sogar als Kopfrechnung zu bestimmen !
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> Hallo Pet,
>
> ich glaube, dass die mitgelieferte Zeichnung
> noch nicht die Lösung selber ist, sondern erst
> eine Vorskizze dazu.
> Bei der Skizze, die ich mir gemacht habe,
> sehe ich so etwas wie ein architektonisches Gebilde
> oder die Spitze eines Bohrers. Die Deckfläche des
> Körpers ist eine Schraubenfläche - ähnlich einer
> Wendeltreppe, aber ohne Stufen. Zu jedem Winkel [mm]\Phi[/mm]
> enthält diese Fläche eine horizontale (in der Höhe [mm]z=\Phi[/mm]
> liegende, zur x-y-Ebene parallel verlaufende), von der
> z-Achse im Winkel [mm]\Phi[/mm] ausstrahlende Strecke der Länge 2.
>
> LG al-Chwarizmi
Sorry, ich habe vorher wohl die Aufgabe nicht
genau gelesen. Ich habe oben beschrieben, wie
der gesamte Körper aussieht.
Falls "nur" der Querschnitt des Körpers gefragt
ist, der in der y-z-Ebene liegt, ist die angegebene Figur
natürlich richtig. Die beiden waagrechten oberen
Begrenzungslinien sind genau die beschriebenen,
von der z-Achse abstehenden Radien in den Höhen
[mm] z_1=\Phi_1=\pi/2 [/mm] und [mm] z_1=\Phi_2=3\pi/2 [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Pet |
Die Zeichnung hab ich aber aus der Musterlösung...
Ich weiß gar nicht, wie ich das angehen soll, mir diesen Körper vorzustellen.
r ist der Abstand des jeweiligen Punktes von der z-Achse und liegt zwischen 0 und 2,
[mm] \phi [/mm] = arctan [mm] (\bruch{y}{x}). [/mm]
Wie bringe ich jetzt z mit ins Spiel?
Oder denke ich in die falsche Richtung?
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> Die Zeichnung hab ich aber aus der Musterlösung...
> Ich weiß gar nicht, wie ich das angehen soll, mir diesen
> Körper vorzustellen.
> r ist der Abstand des jeweiligen Punktes von der z-Achse
> und liegt zwischen 0 und 2,
> [mm]\phi[/mm] = arctan [mm](\bruch{y}{x}).[/mm]
> Wie bringe ich jetzt z mit ins Spiel?
> Oder denke ich in die falsche Richtung?
Hallo Pet,
hast du meine zweite Nachricht schon gelesen ?
Der Körper ist ja unten (für [mm] -1\le [/mm] z [mm] \le [/mm] 0) zylindrisch.
Die Grundfläche ist ein Kreis mit Radius 2. Der gesamte
Körper unterscheidet sich von einem Zylinder nur
dadurch, dass die Höhe nicht überall gleich ist.
Jedoch ist die "lokal" gemessene Höhe jeweils
nur vom Winkel [mm] \Phi [/mm] , aber nicht von r abhängig.
Daraus ergibt sich die Beschreibung der Schrauben-
fläche, wie ich sie gegeben habe.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Pet |
Ok, danke für deine vielen Antworten, ich glaube es wird mir jetzt ein bisschen klarer. Aber ich versteh es immernoch nicht ganz.
Der Körper hat doch über dem Teil der y-Achse von 0 bis 2 eine Höhe von |-1| also eins. Der Querschnitt geht von (0, 0,-1) über (0,2,-1) nach (0,2,0) nach (0,0,0), was dem rechten unteren Teil des Rechtecks entspricht, weil hier der Winkel 0 ist (siehe Anhang: dunkelblauer Bereich). Über der negativen x-Achse ist der Winkel dann [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] das heißt dort geht der Querschnitt von (0,0,-1) nach (-2,0,-1) nach [mm] (-2,0,\bruch{\pi}{2}) [/mm] nach [mm] (0,0,\bruch{\pi}{2}), [/mm] das sieht man ja aber im Querschnitt nicht. Über der negativen y-Achse dann geht die Höhe von -1 bis [mm] \pi [/mm] (grün in der Skizze) und nach einem Umlauf = [mm] 2\pi [/mm] müsste doch auf der Höhe [mm] 2\pi [/mm] über der positiven y-Achse Schluss sein (blau + hellblau).
Wo ist noch mein Denkfehler?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Ich denke, jetzt solltest du dir die Parametrisierung
nochmals genau ansehen. Ich bleibe einmal beim
Bild des Bohrkopfes. Die spiralförmige Schneidekante
hat die Parametrisierung
[mm] x=2*cos(\Phi)
[/mm]
[mm] y=2*sin(\Phi)
[/mm]
[mm] z=\Phi
[/mm]
[mm] (0\le \Phi \le 2\pi)
[/mm]
Diese Spirale beginnt im Punkt [mm] P_{\Phi=0}(2/0/0) [/mm] auf
der x-Achse und endet im Punkt [mm] P_{\Phi=2\pi}(2/0/2\pi)
[/mm]
in der x-z-Ebene.
Die Punkte, in welchen diese Raumspirale die
y-z-Ebene durchstösst, sind aber die Punkte
[mm] P_{\Phi=\bruch{\pi}{2}}(0/2/\bruch{\pi}{2}) [/mm] und [mm] P_{\Phi=\bruch{3\pi}{2}}(0/-2/\bruch{3\pi}{2})
[/mm]
Diese ergeben die äusseren oberen Ecken der Rechtecke,
welche den gesuchten Querschnitt ergeben.
Ich hoffe, dass dir meine Beschreibungen auch ohne
zusätzliche Zeichnung helfen.
(Am besten wäre es natürlich, wenn man solche
Fragen an einem greifbaren räumlichen Modell
diskutieren könnte. Zum Erstellen einer entsprechenden
3D-Grafik oder Animation fehlt mir leider die Zeit)
Gute Nacht !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Pet |
Vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld, jetzt hab ich's kapiert und kann's mir vorstellen.
Super Forum, schnelle Hilfe, qualifizierte Antworten, dickes Lob!
Gute Nacht!
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Wendelfläche![[a]](uploads/forum/00444490/forum-i00444490-n001.JPG "Dateianhänge"){kind=small}
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