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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:35 Mi 28.06.2006 | | Autor: | FrankM |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass der Raum [mm] (S)=\{f \in C^{\infty}(\IR^n), \forall k\in \IN \|f\|_k=sup_{|\alpha|\le k}(sup_{x \in \IR^n}[(1+\|x|)^k|D^{\alpha}f(x)|])<\infty\} [/mm] mit der durch die [mm] \| \cdot \|_k [/mm] erzeugten Norm vollständig ist. |
Hallo,
mit der obigen aufgabe, habe ich leider einige Probleme. Zuerst habe ich mir eine Cauchy-Folge in (S) genommen, da dies eine Cauchy-Folge bezüglich aller [mm] \| \cdot \|_k [/mm] ist, existier die Funktion f(x)= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) [/mm] für alle x [mm] \in \IR^n [/mm] und die alle Ableitungen der [mm] f_n [/mm] konvergieren gleichmäßig gegen die Ableitungen von f also f [mm] \in C^{\infty}(\IR^n). [/mm] Mein Problem ist jetzt zu zeigen, dass die [mm] f_n [/mm] auch bezgl. der [mm] \|\cdot\|_k [/mm] gegen f konvergieren. Dazu muss ich ja irgendwie [mm] sup_{|\alpha|\le k}(sup_{x \in \IR^n}[(1+\|x|)^k|D^{\alpha}(f-f_n)(x)|]) [/mm] für alle k abschätzen.
Für Tipps wäre ich dankbar
Frank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 02.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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