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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mo 31.10.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Ein Schneeball schmilzt unter dem Einfluss der Wintersonne und wird kleiner. Wir nehmen an, dass der Schneeball zu jedem Zeitpunkt kugelförmig ist. Seien V(t) das Volumen und F(t) die Oberfläche zum Zeitpunkt t, so werde dieser Abschmelzvorgang durch die Beziehung
[mm] \bruch{dV(t)}{dt} [/mm] = [mm] -\lambda*F(t) [/mm]
mit einer vorgegebenen positiven Konstanten [mm] \lambda [/mm] beschrieben.
a)Ermitteln Sie die zeitliche Abhängigkeit des Radius R(t) des Schneeballs. Nehmen Sie dabei den Radius R(0) zum Zeitpunkt 0 als bekannt an.
b)Zu welchem Zeitpunkt [mm] t_{1} [/mm] besitzt der Schneelball das Volumen 1/8*V(0)?
c)Ermitteln Sie die Funktion R(t) für t [mm] \ge [/mm] 0 an, wenn nicht der Anfangswert R(0), sondern nur der Wert von [mm] R(t_{0}) [/mm] zu irgendeinem anderen Zeitpunkt [mm] t_{0} [/mm] > 0 bekannt ist.
d)Lesen Sie ab, wie sich der Radius des Schneeballs in gleichen Zeitspannen verändert. Was passiert nach langer Zeit? |
Die Aufgabe versteh ich einfach nicht. Es geht schon bei a) los :(
Also der Schneeball ist ja zu jedem Zeitpunkt eine Kugel, also können wir ja erstmal für das Volumen und die Oberfläche eine Formel in Abhängigkeit von R einsetzen oder?
Also V= 4/3 * [mm] \pi [/mm] * [mm] R^3 [/mm] und F=4* [mm] \pi [/mm] * [mm] R^2...das [/mm] eingesetzt hat man ne Formel in Abhängigkeit von t...ich denke mal man muss das jetzt umformen, z.B. das dt auf die andere Seite bringen, aber dan steht ja links nur noch d(4/3* [mm] \pi [/mm] * [mm] R^3), [/mm] und was macht man jetzt damit?
Kann mir einer weiterhelfen?
Gruß David
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Hallo David,
> Ein Schneeball schmilzt unter dem Einfluss der Wintersonne
> und wird kleiner. Wir nehmen an, dass der Schneeball zu
> jedem Zeitpunkt kugelförmig ist. Seien V(t) das Volumen
> und F(t) die Oberfläche zum Zeitpunkt t, so werde dieser
> Abschmelzvorgang durch die Beziehung
> [mm]\bruch{dV(t)}{dt}[/mm] = [mm]-\lambda*F(t)[/mm]
> mit einer vorgegebenen positiven Konstanten [mm]\lambda[/mm]
> beschrieben.
> a)Ermitteln Sie die zeitliche Abhängigkeit des Radius
> R(t) des Schneeballs. Nehmen Sie dabei den Radius R(0) zum
> Zeitpunkt 0 als bekannt an.
> b)Zu welchem Zeitpunkt [mm]t_{1}[/mm] besitzt der Schneelball das
> Volumen 1/8*V(0)?
> c)Ermitteln Sie die Funktion R(t) für t [mm]\ge[/mm] 0 an, wenn
> nicht der Anfangswert R(0), sondern nur der Wert von
> [mm]R(t_{0})[/mm] zu irgendeinem anderen Zeitpunkt [mm]t_{0}[/mm] > 0 bekannt
> ist.
> d)Lesen Sie ab, wie sich der Radius des Schneeballs in
> gleichen Zeitspannen verändert. Was passiert nach langer
> Zeit?
> Die Aufgabe versteh ich einfach nicht. Es geht schon bei
> a) los :(
> Also der Schneeball ist ja zu jedem Zeitpunkt eine Kugel,
> also können wir ja erstmal für das Volumen und die
> Oberfläche eine Formel in Abhängigkeit von R einsetzen
> oder?
> Also V= 4/3 * [mm]\pi[/mm] * [mm]R^3[/mm] und F=4* [mm]\pi[/mm] * [mm]R^2...das[/mm]
> eingesetzt hat man ne Formel in Abhängigkeit von t...ich
> denke mal man muss das jetzt umformen, z.B. das dt auf die
> andere Seite bringen, aber dan steht ja links nur noch
> d(4/3* [mm]\pi[/mm] * [mm]R^3),[/mm] und was macht man jetzt damit?
> Kann mir einer weiterhelfen?
> Gruß David
>
Du hast: [mm]\bruch{dV(t)}{dt}=-\lambda*F(t)[/mm]
[mm] $\frac{d}{dt} \; \frac{4}{3}\; \pi \; R_{(t)}^3 =-\lambda*4 \;\pi \; R_{(t)}^2 [/mm] $
Denke beim Ableiten an die Kettenregel:
$ 4 [mm] \; \pi \; R^2*\dot [/mm] R [mm] =-\lambda*4 \;\pi \; R_{(t)}^2 [/mm] $
[mm] $\frac{dR}{dt}= -\lambda$
[/mm]
[mm] $\int [/mm] dR = - [mm] \lambda *\int [/mm] dt $
Wir hatten die identische Aufgabe allerdings schon einmal vor ein paar Tagen:
https://www.vorhilfe.de/read?t=829967
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Di 01.11.2011 | | Autor: | David90 |
ok alles klar...was macht man denn jetz bei b) ?
wenn für t=0 eingesetzt wird, wie soll man denn nen wert füt [mm] t_{1} [/mm] finden?
Gruß David
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Hallo David,
> ok alles klar...was macht man denn jetz bei b) ?
> wenn für t=0 eingesetzt wird, wie soll man denn nen wert
> füt [mm]t_{1}[/mm] finden?
> Gruß David
Nanü - das ist aber Schulstoff.
[mm] $\frac{1}{8}*V_0=\frac{1}{8}*\frac{4}{3}*\pi*R_{0}^3=\frac{1}{6}*\pi*R_{0}^3$
[/mm]
[mm] $\frac{4}{3}*\pi* \left( R_0-\lambda*t \right)^3=\frac{1}{6}*\pi*R_{0}^3$
[/mm]
...
So ich mich nicht verrechnet habe: [mm] $t_1=\frac{R_0}{2*\lambda}$
[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Di 01.11.2011 | | Autor: | David90 |
Mmmhhh, find die Aufgabe nich so doll...hab mich jetzt an c) versucht...also diesmal ist nicht R(0) bekannt, sondern irgendein anderer Zeitpunkt [mm] t_{0}.
[/mm]
Dadurch ist die Konstante ja nicht mehr R(0) und das - [mm] \lambda*t [/mm] verschwindet ja auch nicht, da [mm] t_{0} [/mm] > 0 ist.
Also für die Funktion ergibt sich:
[mm] R(t_{0}) [/mm] = - [mm] \lambda*t_{0} [/mm] + C
Die Aufgabe besteht jetzt darin C zu finden...
Obwohl hier steht ja t [mm] \ge [/mm] 0 und [mm] t_{0} [/mm] > 0...
Weiß jemand den Ansatz?:(
Gruß David
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Hallo,
> Mmmhhh, find die Aufgabe nich so doll...hab mich jetzt an
> c) versucht...also diesmal ist nicht R(0) bekannt, sondern
> irgendein anderer Zeitpunkt [mm]t_{0}.[/mm]
> Dadurch ist die Konstante ja nicht mehr R(0) und das -
> [mm]\lambda*t[/mm] verschwindet ja auch nicht, da [mm]t_{0}[/mm] > 0 ist.
> Also für die Funktion ergibt sich:
> [mm]R(t_{0})[/mm] = - [mm]\lambda*t_{0}[/mm] + C
> Die Aufgabe besteht jetzt darin C zu finden...
> Obwohl hier steht ja t [mm]\ge[/mm] 0 und [mm]t_{0}[/mm] > 0...
> Weiß jemand den Ansatz?:(
> Gruß David
Deine Gleichung heißt ja: [mm] $R(t)=R_0-\lambda*t$
[/mm]
Nun sollst Du [mm] R_0 [/mm] substituieren.
Male Dir ein ein Koordinatensystem mit deiner Geraden. Diese schneidet die Ordinate bei [mm] R_0 [/mm] und die Abszisse bei [mm] t_{end}. [/mm] Male dann noch einen Punkt [mm] (t_0 [/mm] / [mm] R(t_0)) [/mm] auf der Geraden - mit [mm] t_0 [/mm] zwischen t=0 und [mm] t_{end}.
[/mm]
Diesen Punkt setzt Du dann in deine Geradengleichung ein:
[mm] $R(t_0)=R_0-\lambda*t_0$
[/mm]
Damit ist [mm] R_0=(R(t_0)+\lambda*t_0)
[/mm]
und Deine Geradengleichung lautet:
[mm] R(t)=(R(t_0)+\lambda*t_0)-\lambda*t
[/mm]
LG, Martinius
P.S. Aktualisiere bitte Dein Profil gelegentlich.
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