Schinken-Sandwich-Problem < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Mo 28.05.2012 | | Autor: | ausodi |
| Aufgabe | | Auf einer Scheibe Brot liegt eine Scheibe Schinken, wobei die beiden nicht deckungsgleich zu sein brauchen. Zeigen Sie, dass man mit einem Messer das Schinkenbrot durch einen geraden Schnitt so durchschneiden kann, dass sowohl Schinken als auch Brot halbiert werden. |
Liebe Freunde der Mathematik,
ich komme hier leider überhaupt nicht weiter und auch ein Ansatz fehlt mir. Ich weiß, dass ich die Aufgabe mit dem Zwischenwertsatz lösen soll, aber auch intensives googeln hat bei mir kein Licht ins Dunkel gebracht. Einen ausführlichen bzw. verständlichen Beweis habe ich leider nicht gefunden.
Ich wäre über jeden Hinweis oder Link sehr dankbar!
Herzliche Grüße
ausodi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
spontan stelle ich mir gerade Schinken-Sandwiches im Koordinatensystem vor (ich hatte heute Abend schon welche zum Abendbrot -:) ).
Schinken und Sandwich müssen aber zusammenhängende Gebiete sein, da ist die Aufgabenstellung etwas schwammig. Dann gibt es zu jeder Richtung einen Schnitt in dieser Richtung, der den Schinken halbiert, Entweder dieser Schnitt halbiert auch das Brot (bspw. weil Schinken und Brot kongruent sind), oder er teilt es in ungleiche Teile. Dann wird es so sein, dass der Schwerpunkt des Brotes nicht auf der Schnittlinie liegt. Da es für jede Richtung für den Schinken einen halbierenden Schnitt gibt, wird der schwerpunkt des Brotes mal auf der einen, mal auf der anderen Seite liegen und damit nach dem Zwischenwertsatz eben auch mal auf dem Schnitt. Dann wäre das Brot auch halbiert.
Das ist jetzt nur mal so eine grobe Idee. Versuche mal, etwas daraus zu machen und melde dich dann gerne wieder.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Di 29.05.2012 | | Autor: | ausodi |
Hallo Diophant,
vielen Dank für deine Antwort.
> Dann gibt es zu jeder Richtung einen Schnitt in dieser
> Richtung, der den Schinken halbiert ...
Darf ich das einfach annehmen oder wäre dies auch zu zeigen?
Meine bisherige Idee:
Wenn das Brot symmetrisch wäre (z.B. Kreis oder Quadrat), könnte ich einen geraden Schnitt durch den Mittelpunkt wählen (Brot halbiert).
Diesen Schnitt kann ich nun um 0 - 180° drehen (das Brot bleibt immer noch halbiert, da Schnitt durch Mittelpunkt).
Der Anteil am Schinken links vom Schnitt kann nun Werte zwischen 0 (gar kein Schinken) und 1 (kompletter Schinken).
Wenn ich mir nun eine Funktion "baue":
$f: [0, 180) [mm] \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] [0, 1]$, so existiert laut Zwischenwertsatz ein $x [mm] \in [/mm] [0, 180)$, für das $f(x)=0,5$ ist.
Das ist jetzt wahrscheinlich mathematisch nicht 100%ig sauber, aber wenigstens eine erste Idee. Aber ich habe ja leider nicht nur symmetrische Brote...
Viele Grüße
ausodi
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Hallo,
es ist in meinen Augen gleichgültig, ob die Formen symmetrisch sind oder nicht, nur zusammenhängend müssen sie ein. Dann gibt es sicherlich zu jeder Richtung Geraden, die bspw. das Gebiet des Schinkens nicht durchlaufen oder berühren. Nim in Gedanken so eine Gerade und verschiebe sie parallel, irgendwann verläuft sie durch den Schinken und teilt diesen in einem gewissen Verhältnis [mm] p\in[0;1]. [/mm] Wenn du sioe noch weiter verschiebst, dann kommst du aus dem Bereich des Schinkens wieder heraus. Beim Eintritt in den Schinken sei p=0, beim Austritt sei p=1, also existiert nach dem Zwischenwertsatz usw. usf.
Beim Brot wird es etwas komplizierter, denn da muss man die oben erhaltene Gerade drehen, aber funktionieren muss es m.A. nach auch.
Außer ich habe totalen Schinken geschrieben. ^^
Gruß, Diophant
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