Scheitern an 2-Punkteform :-( < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Di 07.06.2005 | | Autor: | Audience |
Hallo,
die Aufgabe im Buch lautet:
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente für einen beliebigen Punkt P(0/v) an das Schaubild der Funktion f mit f(x)=4x³+6.
Ok.. den Punkt hab ich raus:
B( [mm] \bruch{1}{2}* \wurzel[3]{6-v} [/mm] / [mm] 9-\bruch{1}{2}v)
[/mm]
Nun scheitere ich aber daran, die Gleichung der Tangente mit der 2-Punktesteigungsform zu ermitteln.
Auf der rechten Seite steht dann nämlich bei mir unterm Bruch [mm] \bruch{1}{2}* \wurzel[3]{6-v} [/mm] und ich hab keine Ahnung wie ich das wegbekommen kann.
Vielen Dank für alle Antworten!
Gruß,
Thomas
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Hi, Audience,
also den Punkt B rechne ich jetzt nicht nach!
(Nur so ganz nebenbei gilt Deine Lösung sicher nur für v [mm] \le6; [/mm] für v > 6 musst Du [mm] -\bruch{1}{2}*\wurzel[3]{v-6} [/mm] für die x-Koordinate schreiben!)
Ich frage mich nun, warum Du unbedingt die 2-Punkte-Form der Geraden nimmst und nicht mit der Ableitung arbeitest (was Du übrigens für v=6 sowieso tun musst, denn da sind die Punkte P(0;6) und B identisch!):
m= f'( [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel[3]{6-v}) [/mm] = [mm] 3*\wurzel[3]{(6-v)^{2}}
[/mm]
und damit:
t: y = [mm] 3*\wurzel[3]{(6-v)^{2}}*(x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel[3]{6-v}) [/mm] + 9 - [mm] \bruch{1}{2}v
[/mm]
Aber von mir aus! Also, sei v < 6:
m = [mm] \bruch{9 -\bruch{1}{2}v - v}{\bruch{1}{2}*\wurzel[3]{6-v} - 0}
[/mm]
= [mm] \bruch{9 -\bruch{3}{2}v}{\bruch{1}{2}*\wurzel[3]{6-v}}
[/mm]
= [mm] 3*\bruch{6 - v}{\wurzel[3]{6-v}}
[/mm]
= [mm] 3*\bruch{6 - v}{(6-v)^\bruch{1}{3}}
[/mm]
= [mm] 3*(6-v)^\bruch{2}{3}
[/mm]
(was man auch so schreiben kann wie in meinem obigen Vorschlag!)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Di 07.06.2005 | | Autor: | Audience |
Hallo,
vielen Dank erstmal für deine Antwort, doch bei mir sind leider immer noch Fragen offen geblieben.
Die Ableitung wäre ja f'(x)= 4x².
Im ersten Teil der Aufgabe war als v -12 vorgegeben.
Somit kam B( [mm] \wurzel[3]{2,25}/15) [/mm] raus.
Aber wenn ich jetzt [mm] \wurzel[n]{2,25}/ [/mm] in f'(x) einsetze, so kommt bei mir
nicht die Lösung von [mm] 10*\wurzel[3]{1,5}/ [/mm] raus. Wie kommt überhaupt das Quadrat unter die Wurzel? Ich bin jetzt total verwirrt...
Danke für alle weiteren Antworten!
Gruß,
Audience
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Hi, Audience,
von v=-12 war aber bisher nicht die Rede!
Na gut, rechnen wir's mal durch:
[mm] B(\bruch{1}{2}*\wurzel[3]{18} [/mm] / 15) = [mm] B(\wurzel[3]{2,25} [/mm] / 15) (OK!)
f(x) = [mm] 4x^{3}+6; [/mm] f'(x) = [mm] 12x^{2} [/mm] (Und was hast Du?!)
f'( [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel[3]{18}) [/mm] = [mm] 6*(\wurzel[3]{18})^{2} [/mm] =
[mm] 6*\wurzel[3]{18^{2}} [/mm] = [mm] 18*\wurzel[3]{12} [/mm]
Aber: Wie kommst Du auf [mm] 10*\wurzel[3]{1,5} [/mm] ?
Ach ja: Wie kommt das Quadrat unter die Wurzel?
Nun: Beim Potenzieren (und Wurzelziehen gehört dazu) ist es gleichgültig, ob man erst das eine (hier die 3. Wurzel) berechnet und dann das andere (also quadriert) oder die Reihenfolge vertauscht (erst quadriert, dann die Wurzel zieht).
Das alles natürlich immer unter Beachtung der Definitionsmenge!
Regel: Für a > 0 gilt:
[mm] (\wurzel[3]{a})^{2} [/mm] = [mm] a^\bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{a^{2}}
[/mm]
All clear now?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Di 07.06.2005 | | Autor: | Audience |
Naja, eigentlich schon klar, nur:
ich Lösungsbuch steht eindeutig
Berührpunkt B( [mm] \wurzel[3]{2,25}/15); [/mm] Tangente y=10 [mm] \wurzel[3]{1,5}x [/mm] -12
Ziemlich merkwürdig finde ich das...
Weile eine weitere Möglichkeit wäre ja
m=y/x
Nun.. und da würde (ich habs in den Taschenrechner eingetippt) eben das Ergebnis aus dem Lösungsbuch herauskommen....
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Hi, Audience,
also mittlerweille glaub' ich, das Problem ist der falsche Funktionsterm!
Du hast zu Beginn f(x) = [mm] 4x^{3} [/mm] + 6 vorgegeben.
Ich hab' jetzt mal den Punkt B nachgerechnet und rausgefunden,
dass eher f(x) = [mm] x^{3} [/mm] + 6 in Frage kommt!
Wahrscheinlich liegt hier der Wurm im Pfeffer!
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