Scheitelpunkt von Parabeln < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Di 08.11.2011 | | Autor: | Fee |
Hallöchen :)
Ich screib bald eine Mathearbeit und ich weiß nicht, wie man den Scheitelpunkt von Parabeln berechnet...nicht nur von Normalparabeln.
Könnt Ihr mir weiterhelfen ?
Liebe Grüße. eure Fee ;)
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Hallo Fee,
> Hallöchen :)
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> Ich screib bald eine Mathearbeit und ich weiß nicht, wie
> man den Scheitelpunkt von Parabeln berechnet...nicht nur
> von Normalparabeln.
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> Könnt Ihr mir weiterhelfen ?
Nun, allg. hat eine Parabel die Form [mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm]
Das kannst du in die Form [mm]f(x)=a\cdot{}(x-d)^2+e[/mm] bringen, wobei dann der Scheitelpunkt [mm]S=(d/e)[/mm] ist.
Das kannst du mit quadratischer Ergänzung hinbekommen:
[mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm]
Erstmal [mm]a[/mm] ausklammern:
[mm]=a\cdot{}\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)[/mm]
Nun in der Klammer quadr. Ergänzung, Schritt für Schritt
[mm]=a\cdot{}\left(x^2+\red{2}\cdot{}\frac{b}{\red{2}a}x+\frac{c}{a}\right)[/mm]
[mm]=a\cdot{}\left(x^2+2\cdot{}\frac{b}{2a}x \ \blue{+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2}+\frac{c}{a}\right)[/mm]
Nun hast du für die ersten 3 Summanden in der Klammer die 1.binomische Formel:
[mm]=a\cdot{}\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right][/mm]
[mm]=a\cdot{}\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right][/mm]
[mm]=a\cdot{}\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 \ + \ a\cdot{}\frac{4ac-b^2}{4a^2}[/mm]
[mm]=a\cdot{}\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 \ + \ \frac{4ac-b^2}{4a}[/mm]
Ein Vergleich mit der Form oben [mm]f(x)=a\cdot{}(x-d)^2+e[/mm] ergibt:
[mm]d=-\frac{b}{2a}[/mm] und [mm]e=\frac{4ac-b^2}{4a}[/mm]
Also ist der Scheitelpunkt [mm]S=\left(-\frac{b}{2a} \ / \ \frac{4ac-b^2}{4a}\right)[/mm]
Aber merke dir besser nicht diese allg. Formel, sondern die Herleitung, insbesondere die quadratische Ergänzung.
Hab's extra ausführlich gemacht 
Gruß
schachuzipus
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> Liebe Grüße. eure Fee ;)
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