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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit
f:x -> f (x) = [mm] -0.5x^2 [/mm] + 2x + 1
a.) Berechnen Sie die Koordinaten des SCheitels und zeichnen Sie den Graphen von f in ein geeignets Koordinatensystem.
b.) Bestimmen Sie die Nullstellen und bestimmen sie den Funktionterm in der Nullstellen- und in der Scheitelform
c.) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit der Gerade g:y = 1/4x - 1 |
Hallo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vorneweg, ich habe die 11. Klasse wegen eines Auslandaufenthaltes übersprungen, deswegen fehlt mir einiges an Grundwissen, hab zwar Nachhilfe aber nur einmal die Woche und hänge deswegen doch ein wenig hinterher, also bitte Nachsicht.
Die Aufgaben a.) und einen Teil von b.) hab ich schon berechnet.
Meine Ergebnisse sind:
Scheitel des Graphen (2|3)
Nullstellen {-0,449, 4,45}
Nullstellenform : f(x) = - (x+0,449)*(x-4,445)
Ich hab meine Ergebnisse alle durch Formeln ausm Internet, also ich bin mir nicht sicher ob die stimmen, aber Scheitel müsste zumindest richtig sein.
Beim Funktionsterm in Scheitelform habe ich auch eine Formel gefunden die mir aber nicht weiterhilft.
Bin für jede Hilfe dankbar.
Gruss Lorenz
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hallo,
also um den scheitelpunkt zu berechnen, arbeitest du am besten mit der sogenannten quadratischen Ergänzung.
[mm] f(x):=0,5x^{2}+2x+1 [/mm] hier beginnst du damit ersteinmal das 0,5 vor dem X wegzubekommen, am besten durch ausklammern. D.h da steht dann:
[mm] f(x):=-0,5*(x^{2}-4x-2), [/mm] und hier beginnst du dann mit dem ergänzen. Ziel dieser ergänzung ist es das was in der Klammer steht in eine binomische formel zu verwandeln. Das funktioniert wie folgt,
du teilst den faktor vor dem x durch zwei und quadrierst diesen dann, d.h
[mm] (\bruch{4}{2})^{2}, [/mm] das wäre dann 4.
Diesen Wert setzt du anstatt der zwei am ende ein und ziehst es auch gleich wieder ab, d.h
[mm] f(x):=-0,5*(x^{2}-2x+4)-4-2 [/mm] so dann hast du die erste binomische formel, das ganze ist jetzt ja gleich [mm] f(x):=-0,5*(x-2)^{2}-6. [/mm] So jetzt musst du noch die -6 mit -0,5 multiplizieren, d.h [mm] f(x):=-0,5*(x-2)^{2}+3, [/mm] so ist der Funktionsterm für den Scheitelpunkt, d.h. der Scheitelpunkt ist bei (2/3) denn für 2 wird die Klammer 0.
Hoffe das hilft dir weiter.
Die Nullstellen berechnest du mit der pq-Formel, das läuft dann so ab:
[mm] 0=-0,5x^{2}+2x+1 [/mm] du teilst durch 0,5
[mm] 0=x^{2}-4x-2 [/mm] dann hast du hier die form [mm] 0=x^{2}+px+q
[/mm]
das löst du dann hiermit auf:
[mm] x_{1,2}=-(\bruch{p}{2})\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^2-q)}
[/mm]
so eingesetzt ist das dann:
[mm] x_1=-(\bruch{-4}{2})+\wurzel{(\bruch{-4}{2})^{2}+2}=2+\wurzel{6}
[/mm]
[mm] x_2=-(\bruch{-4}{2})-\wurzel{(\bruch{-4}{2})^{2}+2}=2-\wurzel{6}
[/mm]
Schnittpunkte macht man dann mit gleichsetzen:
Das schick ich gleich, das dauert sonst zu lange.
Bis denne
P.S. Hab ich irgendwo nen fehler gemacht ? Glaube nicht, das CAS bestätigt mein ergebnis
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(Korrektur) Korrekturmitteilung  | | Datum: | 09:18 Mo 23.10.2006 | | Autor: | informix |
Hallo eXeQteR und auch Lorenz,
> also um den scheitelpunkt zu berechnen, arbeitest du am
> besten mit der sogenannten  quadratischen Ergänzung.
>
> [mm]f(x):=-0,5x^{2}+2x+1[/mm] hier beginnst du damit ersteinmal das
> -0,5 vor dem X wegzubekommen, am besten durch ausklammern.
> D.h da steht dann:
>
> [mm]f(x):=-0,5*(x^{2}-4x-2),[/mm] und hier beginnst du dann mit dem
> ergänzen. Ziel dieser ergänzung ist es das was in der
> Klammer steht in eine binomische formel zu verwandeln. Das
> funktioniert wie folgt,
> du teilst den faktor vor dem x durch zwei und quadrierst
> diesen dann, d.h
> [mm](\bruch{4}{2})^{2},[/mm] das wäre dann 4.
> Diesen Wert setzt du anstatt der zwei am ende ein und
> ziehst es auch gleich wieder ab, d.h
>
> [mm]f(x):=-0,5*(x^{2}-2x+4)-4-2[/mm] so dann hast du die erste
hier musst du unbedingt eine Klammer setzen!
[mm]f(x):=-0,5*\left[(x^{2}-2x+4)-4-2 \right][/mm]
> binomische formel, das ganze ist jetzt ja gleich
[mm]f(x):=-0,5*[(x-2)^{2}-6].[/mm] So jetzt musst du noch die -6 mit
> -0,5 multiplizieren, d.h [mm]f(x):=-0,5*(x-2)^{2}+3,[/mm] so ist der
> Funktionsterm für den Scheitelpunkt, d.h. der Scheitelpunkt
> ist bei (2/3) denn für 2 wird die Klammer 0.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ein Bild sagt mehr als tausend Worte 
gezeichnet mit ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot
Hier siehst du auch gleich, warum die Scheitelpunktform so nützlich ist:
man kann die Koordinaten des Scheitelpunkts bequem ablesen.
>
> Hoffe das hilft dir weiter.
>
> Die Nullstellen berechnest du mit der pq-Formel, das läuft
> dann so ab:
>
> [mm]0=-0,5x^{2}+2x+1[/mm] du teilst durch 0,5
> [mm]0=x^{2}-4x-2[/mm] dann hast du hier die form [mm]0=x^{2}+px+q[/mm]
> das löst du dann hiermit auf:
> [mm]x_{1,2}=-(\bruch{p}{2})\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^2-q)}[/mm]
> so eingesetzt ist das dann:
>
> [mm]x_1=-(\bruch{-4}{2})+\wurzel{(\bruch{-4}{2})^{2}+2}=2+\wurzel{6}[/mm]
>
> [mm]x_2=-(\bruch{-4}{2})-\wurzel{(\bruch{-4}{2})^{2}+2}=2-\wurzel{6}[/mm]
>
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Zu den Schnittpunkten:
[mm] f(x):=-0,5x^{2}+2x+1
[/mm]
[mm] f(x):=\bruch{1}{4}-1
[/mm]
[mm] -0,5x^{2}+2x+1=\bruch{1}{4}*x-1
[/mm]
[mm] x^{2}-3,75x-4=0
[/mm]
und jetzt wieder die pq formel, das p = -3,75 q=-4 einsetzen und fertig.
Bis dann
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Hallo vielen Dank für deine Hilfe,
habs jetzt alles mal durchgerechnet und auch gezeichnet, sieht auf jedenfall richtig aus.
Allerdings weiss ich noch nicht was ich unter dem Funktionsterm in Scheitelform verstehen soll.
vielen dank für die schnelle aufklärung, ist echt super hier.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 So 22.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Scheitelpunktform ist diese hier: y=(x+c)²+d, wobei man dann dann die Scheitelpunktkoordinaten einfach ablesen kann. Diese wäre hier S(-c|d).
Deinen Scheitel hast du ja, also kannst du sie ja einfach aufstellen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Mo 23.10.2006 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo informix,
war ein fehler in meiner Rechnung, oder waren es "nur" die Klammern die nicht gesetzt waren ?
Bis denn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Mo 23.10.2006 | | Autor: | informix |
Hallo ,
>
> war ein fehler in meiner Rechnung, oder waren es "nur" die
> Klammern die nicht gesetzt waren ?
es waren die Klammern, die fehlten, und ein Minuszeichen.
Du hast ja prima erklärt.
Aber gerade, wenn man die quadratische Ergänzung verstehen will, sind diese Klammern unbedingt zu setzen!
Gruß informix
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