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Schar der Wendetangenten: Aufgabe 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Do 05.07.2012
Autor: FragenMichl

Aufgabe
Hallo liebe Forumsmitglieder,
ich bräuchte mal bitte einen kleinen Gedankenanstoß für diese Aufgabe.
Danke für eure Hilfe! :-)

Gegeben ist die Schar f(x) = [mm] 1/12x(x-a)^2; [/mm] (a ε [mm] \IR [/mm] )

a) Bestimme die Gleichung der Schar der Wendetangenten ta(x)
    [ ta(x) = [mm] (-a^2/36)*x [/mm] + [mm] (2/81)*a^3 [/mm] ]
    
    Lsg:
    f"(x) = 0
    (1/2)x - (1/3)a = 0
                      x = (2/3)a
    
    >> W( (2/3)a / [mm] (1/162)a^3) [/mm]

    f'((2/3)a) = [mm] (-2/27)a^2 [/mm] ?!?! Lösung ist ja eig [mm] (-1/36)a^2 [/mm]
    Was mach ich falsch?                
    

b) Welche Wendetangente ist parallel zur Winkelhalbierenden des 2. und 4.
    Quadranten, welche steht darauf senkrecht?

    Lsg:
    Winkelhalbierende k(x) = -x
    f'(xw) = 1  >> senkrecht
    f'(xw) = -1 >> parallel
    Senkrecht steht ja eine Gerade auf einer andere Gerade mit dem negative
    Kehrbruch der Ausgangsgerade...
    Muss ich da jetzt einen bestimmten Wet für a angeben?

    !!!! xw = x-Wert des Wendepunkts also W( xw / f(xw) ) !!!!

c) Welche Wendetangente schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck mit dem
    Flächeninhalt 72 ein?

    Lsg:
    Also mann müsste den y-Achsenabschnitt t und die Nullstelle der Wendetangente
    bestimmen.
    Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck, also A = 1/2*  "t(x)=0"  *t
    
    Und wie soll ich das jetzt alles bestimmen??


Mit freundlichen Grüßen,
FragenMichl



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Schar der Wendetangenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Do 05.07.2012
Autor: Steffi21

Hallo

a)
an der Stelle [mm] x=\bruch{2}{3}a [/mm] liegt der Wendepunkt ist ok
[mm] f(\bruch{2}{3}a)=\bruch{1}{162}a^3 [/mm] ist auch ok

möchtest du den Anstieg der Tangentenschar berechnen, so ist [mm] f'(\bruch{2}{3}a) [/mm] zu berechnen, welchen Fehler du gemacht hast, kann ich nicht sagen, stelle mal bitte deine Rechnung vor
b)
der Anstieg ist -1 bzw. 1, die beiden Wendetangenten hängen von a ab
c)
auch hier benötigst du zunächst die Gleichung der Wendetangente in Abhängigkeit von a, bestimme dann die Nullstelle und f(0), die Flächenformel des Dreiecks kennst du ja,

Steffi



Bezug
                
Bezug
Schar der Wendetangenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Do 05.07.2012
Autor: FragenMichl

Aufgabe
Danke für deine schnelle Antwort :)

a) Ohh... Ja hab mich verrechnet :D
    m= [mm] -(a^2/36)x [/mm]
    ok passt :)

b) dann muss ich also f'(x) = -1 bzw 1 setzen >> nach x auflösen >> x-Wert in f'(x)
    und ich bekomm m von t(x) >> ganz normal Tangente berechenen
    Dann müsste es klapppen oder?

c) Also muss ich da dann die Tangentengleichung ta(x) aus Teilaufgabe a) gleich 0
    setzen und nach x auflösen und t = [mm] (2/81)a^3 [/mm] setzen
    >> 72 = 1/2 * ta(x) = 0 * t >> nach a auflösen und fertig?!
    Passts so?

Fragen oben :D

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Bezug
Schar der Wendetangenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Do 05.07.2012
Autor: Steffi21

Hallo

a)
den Fehler hast du offenbar selber gefunden
b)
deine Tangentenschar lautet [mm] f_t(x)=-\bruch{1}{36}a^2*x+\bruch{2}{81}a^3 [/mm] bilde jetzt die 1. Ableitung der Tangentengleichung, setze diese gleich -1, daraus kannst du a bestimmen
c)
du benötigst die Schnittstelle mit der y-Achse, also [mm] f_t(0) [/mm] und die Nullstelle der Tangente

Steffi

Bezug
                                
Bezug
Schar der Wendetangenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Do 05.07.2012
Autor: FragenMichl

b) Ach ja stimmt ich brauch ja die Ableitung von ft(x), stimmt ok :)
c) Das hab ich doch eig. so geschrieben?!
    ft(0) ist doch [mm] (2/81)a^3 [/mm] und ft(x) = 0 ok...
    und dann wenn ich das dann in 72 = 1/2 * Nullstelle * ft(0) einsetze, wie
    soll ich dann die Wendetangente bestimmen, bei der Gleichung 72=... sind
    ja nur noch a drinnen?!

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Bezug
Schar der Wendetangenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Do 05.07.2012
Autor: Steffi21

Hallo, bei der Aufageb c) ist doch a gesucht unter der Bedingung, dass der Flächeninhalt 72 FE beträgt, Steffi

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Bezug
Schar der Wendetangenten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 Do 05.07.2012
Autor: FragenMichl

Achso :D
Tut mir leid Steffi, Danke für deine Hilfe

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Bezug
Schar der Wendetangenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Do 05.07.2012
Autor: FragenMichl

Tut mit leid, aber jetzt muss ich nochmal schreiben...
Bei einer anderen Teilaufgabe soll ich die Extrema allgemein bestimmen!
f'(x) = [mm] 1/12(x-a)^2 [/mm] + (1/6)x(x-a)
       = [mm] (1/4)x^2 [/mm] - (1/3)ax + [mm] (1/12)a^2 [/mm]  =  0
                       (1/4)*x*(x-(4/3)a)          = [mm] -(1/12)a^2 [/mm]

und wie mach ich jetzt da weiter?? Wie löse ich nach x au?!

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Schar der Wendetangenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Do 05.07.2012
Autor: FragenMichl

und nochmal zur b)
ft'(x) = [mm] -(1/36)a^2 [/mm]  = 1     >> Ansatz Senkrecht!
                          a   =  -6

ft(x) = -x -16/3
>> Die Tangente steht nun nicht senkrecht auf der Winkellhalbierenden
      sondern ist wieder parallel [mm] a^2 [/mm] ist schuld :/


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Schar der Wendetangenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Do 05.07.2012
Autor: Steffi21

Hallo, die Tangente(n)

[mm] f_t(x)=-\bruch{1}{36}a^2*x+\bruch{2}{81}a^3 [/mm]

[mm] f'(t)=-\bruch{1}{36}a^2 [/mm]

wenn die Tangente parallel zur Winkelhalbierenden 2./4. Quadrant verlaufen soll, so ist der Anstieg -1, zu lösen ist also

[mm] -\bruch{1}{36}a^2=-1 [/mm]

[mm] a^2=36 [/mm]

[mm] a_1_2=\pm6 [/mm]

für x=6 hast du die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{12}x*(x-6)^2 [/mm] mit der Tangente [mm] f_t(x)=-x+\bruch{16}{3} [/mm]

für x=-6 hast du die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{12}x*(x+6)^2 [/mm] mit der Tangente [mm] f_t(x)=-x-\bruch{16}{3} [/mm]

die dazu senkrechten Tangenten haben den Anstieg 1, du kennst noch den Wendepunkt [mm] (\bruch{2}{3}a; \bruch{1}{162}a^3) [/mm] daraus kannst du für die jeweils senkrechten Tangenten n berechnen

Steffi



Steffi

Bezug
                                                                        
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Schar der Wendetangenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 Do 05.07.2012
Autor: FragenMichl

Ich verstehe deine Ansatz jetzt nicht so ganz :/
ich habe die Parallelen ft(x) = -x - 16/3 und -x + 16/3

Wie komme ich jetzt auf die Parallele Wendetangente und die Senkrechte?

Bezug
                                                                                
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Schar der Wendetangenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Do 05.07.2012
Autor: Steffi21

Hallo, die beiden Tangenten [mm] f_t(x)=-x+\bruch{16}{3} [/mm] und [mm] f_t(x)=-x-\bruch{16}{3} [/mm] verlaufen parallel zur Winkelhalbierenden 2./4. Quadrant, sie haben den Anstieg -1, jetzt brauchst du noch die dazu senkrechten Tangenten durch den Wendepunkt, allgemein hat der Wendepunkt die Koordinaten [mm] (\bruch{2}{3}a; \bruch{1}{162}a^3) [/mm]

für a=6 hast du den Wendepunkt (4; [mm] \bruch{4}{3}) [/mm]

für a=-6 hast du den Wendepunkt (-4; [mm] -\bruch{4}{3}) [/mm]

die senkrechten Tangenten lauten

[mm] f_t_s(x)=x+n [/mm] der Anstieg ist ja 1

setze die konkreten Wendepunkte ein und berechne n

Steffi



Bezug
                                                        
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Schar der Wendetangenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Do 05.07.2012
Autor: Steffi21

Hallo, die 1. Ableitung ist korrekt

[mm] f'(x)=\bruch{1}{12}(x-a)^2+\bruch{1}{6}x(x-a) [/mm]

[mm] f'(x)=\bruch{1}{4}x^2-\bruch{1}{3}ax+\bruch{1}{12}a^2 [/mm]

die Klammern sind korrekt aufgelöst

[mm] 0=\bruch{1}{4}x^2-\bruch{1}{3}ax+\bruch{1}{12}a^2 [/mm]

[mm] 0=x^2-\bruch{4}{3}ax+\bruch{1}{3}a^2 [/mm]

jetzt kannst du die p-q-Formel benutzen

[mm] p=-\bruch{4}{3}a [/mm] und [mm] q=\bruch{1}{3}a^2 [/mm]

Steffi







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