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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 So 09.10.2005 | | Autor: | Phoney |
Mahlzeit!
Bei folgender Aufgabe habe ich große Verständnisprobleme - die Aufgabe leuchtet überhaupt nicht ein.
f(x) = [mm] \bruch{4}{1+tx^2}
[/mm]
Es geht um die Berechnung der Wendestellen mit Hilfe des Vorzeichenwechsels.
(zweite Ableitung nach Quotientenregel: die übrigens zu 100% richtig ist)
f''(x) = [mm] \bruch{-8t+24t^{2}x^2}{(1+tx^2)^{3}}
[/mm]
Berechnung der Wendestellen
f''(x) = 0
x = [mm] \wurzel{- \bruch{1}{3t}}
[/mm]
Ihr sollt das jetzt nicht überprüfen, die Ergebnisse sind schon richtig, jedenfalls meiner Rechnung, und ich rechne das jetzt schon zum 3Male unabhängig.
Die erste Erkenntnis, die man darausziehen kann, ist dass es nur für t<0 Wendestellen gibt (wenn überhaupt, das gilt es ja jetzt noch mit dem Vorzeichenwechsel zu zeigen).
Also brauche ich einen Wert kleiner als [mm] \wurzel{- \bruch{1}{3t}} [/mm] und einen Wert größer:
Ich wähle
[mm] x=\wurzel{- \bruch{1}{2t}}
[/mm]
und
[mm] x=\wurzel{- \bruch{1}{4t}}
[/mm]
Und jetzt wirds kompliziert:
[mm] f''(\wurzel{- \bruch{1}{2t}}) [/mm] = [mm] \bruch{-8t+24t^{2}(\wurzel{- \bruch{1}{2t}})^{2}}{(1+t(\wurzel{- \bruch{1}{2t}})^{2})^{3}}
[/mm]
[mm] f''(\wurzel{- \bruch{1}{4t}}) [/mm] = [mm] \bruch{-8t+24t^{2}(\wurzel{- \bruch{1}{4t}})^{2}}{(1+t(\wurzel{- \bruch{1}{4t}})^{2})^{3}}
[/mm]
sinnlose Überlegung:
(Fange ich an dieser Stelle an zu überlegen und würde mal für t=-1 einsetzen, so ergibt sich ein Vorzeichenwechsel.
Am Beispiel von (das unter der Wurzel - den Teil mit Minus, der bleibt doch so, wenn ich das quadriere und die Wurzel ziehe?):
[mm] f''(\wurzel{- \bruch{1}{2*1}}) [/mm] = [mm] \bruch{-8*1+24*1^{2}(\wurzel{- \bruch{1}{2*1}})^{2}}{(1+1(\wurzel{- \bruch{1}{2*1}})^{2})^{3}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-8-12}{(1-0.5)^{3}} [/mm] < 0)
Jetzt ist gerade der Wurm drin. Einen Schritt im Kopf weitergedacht, komme ich immer noch nicht auf meinen Vorzeichenwechsel.)
Angenommen ich vereinfache:
[mm] f''(\wurzel{- \bruch{1}{2t}}) [/mm] = [mm] \bruch{-8t+24t^{2}(\wurzel{- \bruch{1}{2t}})^{2}}{(1+t(\wurzel{- \bruch{1}{2t}})^{2})^{3}}
[/mm]
mit [mm] \wurzel{- \bruch{1}{2t}})^{2} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2t} [/mm] (oder ist das hier der Fehler, dass man dann ein positives Ergebnis hätte?)
Evtl. merkt man es schon, aber ich bin gerade total neben der Rolle.
Ich weiß gerade selbst nicht, wo die Problematik ist, aber um es kurz in einem Satz zu beschreiben: Für [mm] x=\wurzel{- \bruch{1}{2t}} [/mm] und [mm] x=\wurzel{- \bruch{1}{4t}} [/mm] komme ich bei der zweiten Ableitung auf keinen Vorzeichenwechsel, obwohl es einen geben müsste, da ich das ganze mal mit der dritten Ableitung überprüft habe).
Danke und Grüße Johann.
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Hi, Phoney,
> Mahlzeit!
Prost!
> f(x) = [mm]\bruch{4}{1+tx^2}[/mm]
Mit t [mm] \in \IR [/mm] oder was?!
Und was ist mit der maximalen Definitionsmenge?!
> Es geht um die Berechnung der Wendestellen mit Hilfe des
> Vorzeichenwechsels.
> (zweite Ableitung nach Quotientenregel: die übrigens zu
> 100% richtig ist)
Wenn Du das sagst! ICH rechne's nicht nach!
>
> f''(x) = [mm]\bruch{-8t+24t^{2}x^2}{(1+tx^2)^{3}}[/mm]
>
> Berechnung der Wendestellen
>
> f''(x) = 0
> x = [mm]\wurzel{- \bruch{1}{3t}}[/mm]
>
> Ihr sollt das jetzt nicht überprüfen, die Ergebnisse sind
> schon richtig, jedenfalls meiner Rechnung, und ich rechne
> das jetzt schon zum 3 Male unabhängig.
Das mag' schon sein, aber es ist zumindest so, dass
a) wenn man -8t + [mm] 24t^{2}x^{2} [/mm] = 0 setzt, man [mm] x^{2} [/mm] = [mm] +\bruch{1}{3t} [/mm] bekommt und daher x = [mm] \pm \wurzel{\bruch{1}{3t}} [/mm] sein müsste,
b) Du nicht überprüft hast, für welche Werte von t Deine x-Werte in der Definitionsmenge liegen (was bei MEINEM Ergebnis kein Problem ist, da für t>0 D = [mm] \IR [/mm] ist!).
>
> Die erste Erkenntnis, die man darausziehen kann, ist dass
> es nur für t<0 Wendestellen gibt
DAS überprüfe bitte noch mal (siehe meine obigen lichtvollen Ausführungen!)
> (wenn überhaupt, das gilt
> es ja jetzt noch mit dem Vorzeichenwechsel zu zeigen).
> Also brauche ich einen Wert kleiner als [mm]\wurzel{- \bruch{1}{3t}}[/mm]
> und einen Wert größer:
> Ich wähle
> [mm]x=\wurzel{- \bruch{1}{2t}}[/mm]
> und
> [mm]x=\wurzel{- \bruch{1}{4t}}[/mm]
>
SOOO habt Ihr das gemacht? Da bin ich aber erstaunt! Es hängt ja wohl von t ab, ob die Werte, die Du vorschlägst wirklich größer bzw. kleiner als die oben berechneten "Wendestellen" sind. Bei Parameteraufgaben führt das fast immer zu Irrtümmern; zumindest sind aufwändige Fallunterscheidungen nötig!
Also vergiss diese Methode wieder! Sie bringt nur was, wenn Du t kennst!
Nach meinem Ergebnis (also speziell t > 0) ist der Nenner der 2.Ableitung sowieso positiv. Daher brauchst Du nur die Vorzeichen des Zählers zu untersuchen.
Und da es sich beim Zähler (oberflächlich gesagt!) um eine nach oben geöffnete Parabel mit den beiden Nullstellen [mm] \pm \wurzel{\bruch{1}{3t}} [/mm] handelt, kann man leicht schließen, dass beides Nullstellen mit Vorzeichenwechsel sind!
Was willst Du mehr?!
mfG!
Zwerglein
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Hallo Phoney!!!!!
Ich kann dir direkt leider nicht helfen, aber ich habe ![[]](/images/popup.gif) hier einen Funktionssplotter, der ziemlich viel kann!
Ich hoffe er wird dir helfen!!!!
Wichtig für diese Aufgabe: Parameter werden mit einem @ eingebunden. Du kannst dann Startwert, Endwert und die Schritte frei einstellen!
Mit den besten Grüßen
Goldener_Sch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 So 09.10.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo!
Danke an euch beiden. Mit dem dummen Vorzeichenfehler habe ich nun auch gesehen, was falsch war, so würde es mit der Methode jedenfalls auch hinhauen.
Und der online Plotter ist auch klasse!
Danke!
Grüße Johann
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