Schätzung der Varianz für â < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:56 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Rovo |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass â = a + [mm] \overline{u} [/mm] - [mm] \overline{X}\summe_{t=1}^{T}(x_tu_t)/\summe_{t=1}^{T}(x_t^2) [/mm] und daher für die Schätzung der Varianz des Koeffizienten â des einfachen Regressionsmodells gilt:
V(â) = E[(â - [mm] a)^2] [/mm] = [mm] \sigma_u^2(1/T+\overline{X}^2/\summe_{t=1}^{T}x_t^2) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe irgendwie Probleme auf die Lösung [mm] \sigma_u^2(1/T+\overline{X}^2/\summe_{t=1}^{T}x_t^2) [/mm] zu kommen.
Mein Vorgehen war, zuerst für â den angegebenen Term zu nehmen und hiervon dann a abzuziehen, ergibt [mm] \overline{u} [/mm] - [mm] \overline{X}\summe_{t=1}^{T}(x_tu_t)/\summe_{t=1}^{T}(x_t^2). [/mm] Hiervon jetzt das Quadrat bilden --> [mm] \overline{u}^2 -2({\overline{X}\summe x_tu_t}/{\summe x_t^2)}\overline{u} [/mm] + [mm] (\overline{X}\summe x_tu_t/\summe x_t^2)^2 [/mm] vereinfacht dargestellt ergibt das bei mir dann [mm] \overline{u}^2 -2(1/\summe x_t^2)\overline{X}\summe x_t\summe u_t\overline{u}+(1/\summe x_t^2)^2\overline{X}^2\summe x_t^2\summe u_t^2
[/mm]
Ich habe jetzt zwecks der Übersichtlichkeit die 3 Terme aufgeteilt:
a) [mm] \overline{u}^2
[/mm]
b) [mm] -2(1/\summe x_t^2)\overline{X}\summe x_t\summe u_t\overline{u}
[/mm]
c) [mm] (1/\summe x_t^2)^2\overline{X}^2\summe x_t^2\summe u_t^2
[/mm]
Für c) kürzt sich [mm] \summe x_t^2 [/mm] mit der äusseren Klammer von [mm] (1/\summe x_t^2)^2 [/mm] weg, wodurch ich für c) dann folgendes bekomme: [mm] (1/\summe x_t^2) \overline{X}^2\summe u_t^2, [/mm] da der Erwartungswert für [mm] u_t^2 [/mm] gleich [mm] \sigma_u^2 [/mm] entsprich ergibt c) letzten endes [mm] \overline{X}^2\sigma_u^2/\summe x_t^2
[/mm]
soweit so gut (wenn ich hier keine Rechenregeln falsch angewendet habe)
a) [mm] \overline{u}^2 [/mm] entspricht [mm] 1/T\summe u_t^2 [/mm] und wäre in weiterer Folge [mm] \sigma_u^2/T
[/mm]
b) hier nun der Teil, der bei mir nicht ganz weg will :/
[mm] -2(1/\summe x_t^2)\overline{X}\summe x_t \summe u_t \overline{u} [/mm] --> [mm] \overline{X} [/mm] entspricht hier [mm] 1/T\summe x_t [/mm] und [mm] \overline{u} [/mm] entspricht [mm] 1/T\summe u_t
[/mm]
Umgeformt erhalte ich: [mm] 2(1/\summe x_t^2)1/T\summe x_t \summe x_t \summe u_t 1/T\summe u_t [/mm] --> zusammengefasst: [mm] 2(1/\summe x_t^2)\summe x_t^2 1/T^2\summe u_t^2
[/mm]
[mm] 1/\summe x_t^2 [/mm] und [mm] \summe x_t^2 [/mm] kürzen sich weg bleibt [mm] 2/T^2\summe u_t^2
[/mm]
Wo hab ich mich verrechnet bzw. wo habe ich eine Regel falsch angewendet? Stehe mittlerweile echt auf der Leitung :(
lg,
roman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 22.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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