Schätzer und quad. Abweichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Wir definieren für [mm] \theta [/mm] > 0 die W'keitsdichte:
[mm] f_{\theta} (n)=\begin{cases} \bruch{e^{\bruch{-x}{\theta}}}{\theta}, & x>=0 \\ 0, & x<0 \end{cases}
[/mm]
a) Die Zufallsvariable Z habe die Dichte [mm] f_{\theta}. [/mm] Bestimmen Sie den Erwartungswert von Z. Begründen
Sie, dass bei Vorhandensein einer Stichprobe X = [mm] (X_1, X_2, \ldots ,X_n)^T [/mm] vom Umfang n /in N der
Mittelwert [mm] T_1(X) [/mm] := [mm] \overline{X}_n= n^{-1} \summe_{i=1}^{n} [/mm] Xi nach dieser Rechnung ein naheliegender Schätzer für [mm] \theta [/mm] ist! |
| Aufgabe 2 | | Bestimmen Sie die mittlere quadratische Abweichung von diesem [mm] \theta [/mm] |
| Aufgabe 3 | Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit [mm] P_\theta [/mm] (Z > c), dass Z einen größeren Wert als eine
vorher festgesetzte Konstante c [mm] \in [/mm] [0,1) annimmt.
Berechnen Sie [mm] g(\theta) [/mm] := [mm] P_{\theta}(Z [/mm] > c).
Bemerkung: Da mit T_11 ein Schätzer für [mm] \theta [/mm] gegeben ist, ist [mm] g(T_1) [/mm] ein natürlicher Schätzer für die
Wahrscheinlichkeit [mm] g(\theta). [/mm] |
| Aufgabe 4 | Als alternativen Schätzer für [mm] g(\theta) [/mm] definieren wir
[mm] T_2(X) [/mm] := [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} 1_{X_i > c}
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] T_2 [/mm] erwartungstreu ist und berechnen Sie die mittlere quadratische Abweichung
vom wahren Parameter!
Bemerkung: Man kann zeigen, dass [mm] T_1 [/mm] im Sinne der mittleren quadratischen Abweichung besser
ist als [mm] T_2. [/mm] Dafür ist aber [mm] T_2 [/mm] generell einsetzbar (und nicht nur sinnvoll bei Beobachtungen, die
der Dichte [mm] f_\theta [/mm] folgen). |
Hi,
ich bin an dieser Aufgabe am verzweifeln.
Ich hänge eine ganze Zeit am ersten Aufgabenteil. Da habe ich bisher nur den Erwartungswert auserechnet und zwar:
[mm] E(X)=x*f_{\theta}(x)=\bruch{e^{\bruch{-x}{\theta}}}{\theta}-x* \bruch{e^{\bruch{-x}{\theta}}}{\theta^2}
[/mm]
Ich komme nur durch keine Überlegung auf den Mittelwert [mm] T_1(X)
[/mm]
LG,
Mara
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:31 Mi 04.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Mara und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Bitte erstelle zu jeder neuen Aufgabe eine neue Frage.
> Wir definieren für [mm]\theta[/mm] > 0 die W'keitsdichte:
>
> [mm]f_{\theta} (n)=\begin{cases} \bruch{e^{\bruch{-x}{\theta}}}{\theta}, & x>=0 \\ 0, & x<0 \end{cases}[/mm]
Du meinst
[mm] f_{\theta} (\green{x})=\begin{cases} \bruch{e^{\bruch{-x}{\theta}}}{\theta}, & x\ge 0 \\ 0, & x<0 \end{cases}.
[/mm]
> a) Die Zufallsvariable Z habe die Dichte [mm]f_{\theta}.[/mm]
> Bestimmen Sie den Erwartungswert von Z.
> Ich hänge eine ganze Zeit am ersten Aufgabenteil. Da habe
> ich bisher nur den Erwartungswert auserechnet und zwar:
>
> [mm]E(X)=x*f_{\theta}(x)=\bruch{e^{\bruch{-x}{\theta}}}{\theta}-x* \bruch{e^{\bruch{-x}{\theta}}}{\theta^2}[/mm]
Das verstehe ich nicht. Es ist
[mm] E(\green{Z})=\int_{0}^{\infty}x*f_{\theta}(x)\mathrm{d}x.
[/mm]
Jetzt wieder du!
Gruß
DieAcht
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Danke für die fixe Antwort 
Ich hatte da bei meiner Müdigkeit wohl das Integral-Symbol vergessen und ich hab keine Ahnung, was ich danach gerechnet habe
Ich hab mich drei mal dran gesetzt und kam immer auf [mm] E(Z)=\theta
[/mm]
das kam mir etwas spanisch vor.
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x*{\bruch{e^{\bruch{-x}{\theta}}}{\theta}}}=[-e^{\bruch{-x}{\theta}}*(x+\theta)]_{0}^{\infty}=\theta
[/mm]
Komme einfach auf kein anderes Ergebnis ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mi 04.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Ich hab mich drei mal dran gesetzt und kam immer auf [mm]E(Z)=\theta[/mm] das kam mir etwas spanisch vor.
¿Por qué?
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x*{\bruch{e^{\bruch{-x}{\theta}}}{\theta}}\red{\mathrm{d}x}}=[-e^{\bruch{-x}{\theta}}*(x+\theta)]_{0}^{\infty}=\theta[/mm]
Ich habe mit roter Farbe verbessert!
> Komme einfach auf kein anderes Ergebnis ...
Es ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:41 Do 05.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Mit [mm] \lambda:=\frac{1}{\theta}>0 [/mm] erhalten wir die Dichte der Exponentialverteilung, so dass gilt: [mm] E(Z)=\frac{1}{\lambda}=\theta.
[/mm]
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| Aufgabe | Aufgabe 2
Bestimmen Sie die mittlere quadratische Abweichung von diesem [mm] \theta [/mm] |
Ist die MQA bzw MSE = [mm] E(\overline{X}-\gamma)*E(\overline{X}-\gamma)+Var(\overline{X}) [/mm] oder wie errechne ich diese dann?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:36 So 08.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Sa 07.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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