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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Bei dieser Aufgabe weiß ich überhaupt nicht, wie ich das zeigen soll:
Beweisen Sie den folgenden Satz:
Seien alle [mm] |\varepsilon_i|\le\varepsilon<1 [/mm] für [mm] $1\le i\le [/mm] n$ sowie [mm] \delta [/mm] definiert durch
[mm] 1+\delta [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+\varepsilon_i)^{\pm 1}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] |\delta|\le\bruch{n*\varepsilon}{1+n*\varepsilon}
[/mm]
Die [mm] "\pm [/mm] 1" in dem Produkt bedeutet, dass der Exponent bei [mm] (1+\varepsilon_i) [/mm] für [mm] $1\le i\le [/mm] n$ entweder +1 oder -1 lautet, aber nicht für alle [mm] $1\le i\le [/mm] n$ identisch zu sein braucht.
Ich habe wie gesagt gar keine Ahnung, wie ich so etwas zeigen könnte. Könnte mir da jemand einen hilfreichen Tipp geben?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
Die Aufgabe ist wohl so nicht lösbar.
Bsp.
[mm] \varepsilon_1=0.5
[/mm]
[mm] \varepsilon_2=-0.5
[/mm]
[mm] 1+\delta=(1+0.5)^1*(1-0.5)^{-1}=3
[/mm]
[mm] \delta=2\le\bruch{2*0.5}{1+2*0.5}=0.5
[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ja, es muss "$-$" heißen...
Den Beweis findest du ![[]](/images/popup.gif) hier auf Seite 19.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr Lieben!
Vielen Dank für eure Mitteilungen und Antworten. Leider verstehe ich diesen Zweizeiler in dem angegebenen Skript nicht ganz. :-/
Also, ich bin jetzt schon so weit:
Beweis per Induktion nach n:
IA: n=1
es gilt: [mm] $1-\varepsilon\le 1-\varepsilon_i$
[/mm]
[mm] $(1-\varepsilon)(1+\varepsilon_i)\le(1-\varepsilon_i)(1+\varepsilon_i)=1-\varepsilon_i^2\le [/mm] 1$
[mm] $\Rightarrow 1-\varepsilon\le\bruch{1}{1+\varepsilon_i}\le 1\le 1+\varepsilon_i\le\bruch{1}{1-\varepsilon}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow 1-\varepsilon\le(1+\varepsilon_i)^{\pm 1}\le(1-\varepsilon)^{-1}
[/mm]
also gilt: [mm] -\varepsilon\le\underbrace{(1+\varepsilon_i)^{\pm 1}-1}_{\delta}\le\bruch{\varepsilon}{1-\varepsilon}
[/mm]
Wobei ich mir hier auch nicht so ganz sicher bin, weil ich irgendwo die Betragsstriche verloren habe und ich weiß nicht so ganz, ob ich das so aufschreiben kann...
IV: [mm] |\delta|\le\bruch{n*\varepsilon}{1-n*\varepsilon} [/mm]
IS: [mm] $n\to [/mm] n+1$
Nun ist ja zu zeigen:
[mm] |\delta|\le\bruch{(n+1)*\varepsilon}{1-(n+1)*\varepsilon} [/mm]
es gilt: [mm] \bruch{(n+1)*\varepsilon}{1-(n+1)*\varepsilon} [/mm] = [mm] \bruch{n\varepsilon+\varepsilon}{1-n\varepsilon-\varepsilon}
[/mm]
Und hier weiß ich irgendwie nicht mehr weiter. Ich glaube, das Ganze ist nicht wirklich schwierig, nur finde ich es total verwirrend, vor allem, wenn man es vernünftig aufschreiben will. Könnte mir hier bitte nochmal jemand helfen?
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Bastiane!
Der Autor des Skriptes hat sich mit seinem Zweizeilen-Beweis zweifellos als ein Anhänger des mathematischen Minimalismus geoutet. :-/
Was er meinte, war, daß man die Bernoullische Ungleichung mittels Induktion beweisen kann! ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
(Alternativ kann man hierzu auch einfach die Tangente an die zumindest auf [0,1) konvexe Funktion [mm] $(1-x)^n$ [/mm] im Punkte (0,1) betrachten.)
Aus [mm] $0<(1+\varepsilon_i)^{\pm 1}\le\frac1{1-\varepsilon}$ [/mm] (was Du ja bereits gezeigt hast) und der Bernoullischen Ungleichung folgt dann problemlos die Behauptung.
Zu Deinem Beweis von [mm] $(1^{}+\varepsilon_i)^{\pm 1}\le\frac1{1-\varepsilon}$: [/mm] Ja, der ist auch ohne Betragsstriche korrekt. Neben [mm] $1-\varepsilon\le 1-\varepsilon_i$ [/mm] verwendest Du sonst ja nur [mm] $1<1+\varepsilon_i$. [/mm] Man kann den Beweis zwar noch etwas vereinfachen, aber ich möchte ja nicht, daß Du mich für einen K********k***** hältst. ;)
Ach so, die Behauptung [mm] $|\delta|\le\bruch{n*\varepsilon}{1{\red-}n*\varepsilon}$ [/mm] stimmt natürlich nur, falls [mm] $\varepsilon<\frac1n$ [/mm] ist...
Grüße,
Galois
P.S.: Man kann die Aufgabe tatsächlich auch direkt mittels Induktion lösen, was aber letztlich nichts anderes als einen verkappter Beweis der Bernoullischen Ungleichung darstellt.
Bonner Matheforum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Di 15.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Galois!
Vielen Dank für deine Antwort - aber ehrlich gesagt verstehe ich jetzt auch nicht mehr als vorher... :-/
> Der Autor des Skriptes hat sich mit seinem
> Zweizeilen-Beweis zweifellos als ein Anhänger des
> mathematischen Minimalismus geoutet. :-/
Ja, das sehe ich auch so. 
> Was er meinte, war, daß man die Bernoullische Ungleichung
> mittels Induktion beweisen kann!
> (Alternativ kann man hierzu auch einfach die Tangente an
> die zumindest auf [0,1) konvexe Funktion [mm](1-x)^n[/mm] im Punkte
> (0,1) betrachten.)
Also, dass das irgendwie auf die Bernoullische Ungleichung zurück geführt wird, habe ich mir auch schon gedacht. Was das mit der Tangente zu tun haben soll, ist mir nicht klar, aber ich glaube, es ist jetzt wichtiger, die Aufgabe zu verstehen...
> Aus [mm]0<(1+\varepsilon_i)^{\pm 1}\le\frac1{1-\varepsilon}[/mm]
> (was Du ja bereits gezeigt hast) und der Bernoullischen
> Ungleichung folgt dann problemlos die Behauptung.
Und wie? Ich glaube, genau das ist es, was ich nicht verstehe. Das wurde ja in dem Beweis auch direkt gesagt mit "Schluss von n-1 auf n gibt...". Und da hakt es bei mir, ich weiß nicht, wie das dann daraus folgt. Könntest du mir hier noch einmal weiterhelfen?
> Zu Deinem Beweis von [mm](1^{}+\varepsilon_i)^{\pm 1}\le\frac1{1-\varepsilon}[/mm]:
> Ja, der ist auch ohne Betragsstriche korrekt. Neben
> [mm]1-\varepsilon\le 1-\varepsilon_i[/mm] verwendest Du sonst ja nur
> [mm]1<1+\varepsilon_i[/mm]. Man kann den Beweis zwar noch etwas
> vereinfachen, aber ich möchte ja nicht, daß Du mich für
> einen K********k***** hältst. ;)
Ich verstehe das jetzt mal so, dass ich meinen bisherigen Beweis so stehen lassen kann!?!
> Ach so, die Behauptung
> [mm]|\delta|\le\bruch{n*\varepsilon}{1{\red-}n*\varepsilon}[/mm]
> stimmt natürlich nur, falls [mm]\varepsilon<\frac1n[/mm] ist...
Was muss ich damit jetzt anfangen? Muss das irgendwo als Voraussetzung noch dazu oder wie muss ich das berücksichtigen?
Viele Grüße
Bastiane
> P.S.: Man kann die Aufgabe tatsächlich auch direkt mittels
> Induktion lösen, was aber letztlich nichts anderes als
> einen verkappter Beweis der Bernoullischen Ungleichung
> darstellt.
Gut, also spare ich mir das und führe es auf die (mit Induktion bewiesene) Bernoullische Ungleichung zurück - sofern mir da noch irgendwie jemand hilft oder mir ein Licht aufgeht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Bastiane!
> aber ehrlich gesagt verstehe ich jetzt auch nicht mehr als vorher... :-/
O.K., ich schreibe das jetzt für Dich noch mal gaaaaanz langsam auf... ;)
> Also, dass das irgendwie auf die Bernoullische Ungleichung
> zurück geführt wird, habe ich mir auch schon gedacht. Was
> das mit der Tangente zu tun haben soll, ist mir nicht klar,
Einschub (Beweis der Bernoullische Ungleichung ohne Induktion):
Die Funktion [mm] $f(x):=(1-x)^n$ [/mm] hat bei x=0 die Steigung $f'(0)=-n$, ihr Graph besitzt also im Punkte (0,1) die Tangente [mm] $x\mapsto [/mm] 1-nx$. Nun ist wegen [mm] $f''\ge0$ [/mm] die Funktion auf [0,1) (sogar auf [mm] $(-\infty,1]$) [/mm] konvex, weswegen ihr Graph dort oberhalb der genannten Tangente liegt. Es ist also [mm] $1-nx\le (1-x)^n$ [/mm] auf [0,1). Für [mm] $x=\varepsilon(<1)$ [/mm] liefert dies [mm] $1-n\varepsilon\le (1-\varepsilon)^n$ [/mm] - die Bernoullische Ungleichung!
> > Aus [mm]0<(1+\varepsilon_i)^{\pm 1}\le\frac1{1-\varepsilon}[/mm]
> > (was Du ja bereits gezeigt hast) und der Bernoullischen
> > Ungleichung folgt dann problemlos die Behauptung.
>
> Und wie? Ich glaube, genau das ist es, was ich nicht
> verstehe.
Unter Verwendung von [mm] ${1-\varepsilon}\le(1+\varepsilon_i)^{\pm 1}\le\frac1{1-\varepsilon}$ [/mm] gilt:
[mm] $1+\delta=\produkt_{i=1}^{n}(1+\varepsilon_i)^{\pm 1}\le(\frac1{1-\varepsilon})^n= \frac1{(1-\varepsilon)^n}\le \frac1{1-n\varepsilon}$, [/mm] wobei die letzte Abschätzung die Bernoullische Ungleichung und [mm] $1-n\varepsilon> [/mm] 0$ verwendet. Folglich ist [mm] $\delta\le \frac1{1-n\varepsilon}-1=\frac{n\varepsilon}{1-n\varepsilon}$.
[/mm]
In die andere Richtung gilt [mm] $1+\delta=\produkt_{i=1}^{n}(1+\varepsilon_i)^{\pm 1}\ge(1-\varepsilon)^n\ge1-n\varepsilon$ [/mm] nach Bernoullischer Ungleichung, und folglich [mm] $\delta\ge -n\varepsilon\ge-\frac{n\varepsilon}{1-n\varepsilon}$ [/mm] wegen [mm] $0<1-n\varepsilon<1$. [/mm] Fertig!
> Das wurde ja in dem Beweis auch direkt gesagt mit
> "Schluss von n-1 auf n gibt...". Und da hakt es bei mir,
> ich weiß nicht, wie das dann daraus folgt. Könntest du mir
> hier noch einmal weiterhelfen?
Das mit "Schluß von n-1 auf n gibt..." bezog sich ja auf den Beweis der Bernoullischen Ungleichung, lieferte also keinen Tip für den Rest des Beweises!
> > Zu Deinem Beweis von [mm](1^{}+\varepsilon_i)^{\pm 1}\le\frac1{1-\varepsilon}[/mm]:
> > Ja, der ist auch ohne Betragsstriche korrekt. Neben
> > [mm]1-\varepsilon\le 1-\varepsilon_i[/mm] verwendest Du sonst ja nur
> > [mm]1<1+\varepsilon_i[/mm]. Man kann den Beweis zwar noch etwas
> > vereinfachen, aber ich möchte ja nicht, daß Du mich für
> > einen K********k***** hältst. ;)
> Ich verstehe das jetzt mal so, dass ich meinen bisherigen Beweis so stehen lassen kann!?!
Ups, ich sehe gerade, daß das mit meinem "Vereinfachen" doch nicht geht. Zudem - und das ist viel ärgerlicher - ist die von Dir zwischendurch verwendete Abschätzung [mm]1<1+\varepsilon_i[/mm] ja gar nicht durch die Voraussetzungen abgedeckt. Dort haben wir als Abschätzung nach unten ja nur [mm] $-1<-\varepsilon\le\varepsilon_i$ [/mm] gegeben!
Um es kurz zu machen, ich würde Deinen ersten Beweisteil so aufschreiben:
Zu zeigen: [mm] ${1-\varepsilon}\le(1+\varepsilon_i)^{\pm 1}\le\frac1{1-\varepsilon}$.
[/mm]
Beweis:
[mm] $(1-\varepsilon)(1+\varepsilon_i)\le(1-\varepsilon_i)(1+\varepsilon_i)=1-\varepsilon_i^2\le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow 1+\varepsilon_i\le\bruch{1}{1-\varepsilon}$,
[/mm]
[mm] $-\varepsilon\le \varepsilon_i\Rightarrow 1-\varepsilon\le 1+\varepsilon_i$,
[/mm]
zusammen also [mm] $1-\varepsilon\le1+\varepsilon_i\le\bruch{1}{1-\varepsilon}$, [/mm] woraus durch Invertieren auch [mm] $1-\varepsilon\le(1+\varepsilon_i)^{-1}\le\bruch{1}{1-\varepsilon}$ [/mm] folgt.
(Anschließend weiter wie oben angegeben.)
> > Ach so, die Behauptung
> > [mm]|\delta|\le\bruch{n*\varepsilon}{1{\red-}n*\varepsilon}[/mm]
> > stimmt natürlich nur, falls [mm]\varepsilon<\frac1n[/mm] ist...
>
> Was muss ich damit jetzt anfangen? Muss das irgendwo als
> Voraussetzung noch dazu oder wie muss ich das
> berücksichtigen?
Dies muß letztlich in die Voraussetzungen der Aufgabenstellung mit aufgenommen werden. Bei Deinem ursprünglichen Posting fiel das nicht auf, weil Du da ja ohnehin ein falsches Vorzeichen im Nenner hattest.
Benötigen tust Du [mm]\varepsilon<\frac1n[/mm], sobald der aus der Bernoullischen Ungleichung stammende Term [mm] $1-n\varepsilon$ [/mm] bei den weiteren Umformungen zu einem Nenner wird. (Ich habe die beiden Stellen oben angegeben.)
Grüße,
Galois
P.S.: Wenn Du´s jetzt verstanden hast - schreibst Du mir dann als Belohnung einen kleinen Beitrag ins Bonner Forum?  Die anderen Bonner sind auch schon alle da...
Bonner Matheforum
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
