Satz von der Gruppentafel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Do 05.11.2009 | | Autor: | Drechen |
| Aufgabe | | Beweise mit Hilfe des Satzes von der Lösbarkeit von Gleichungen (In einer Gruppe [mm] (M,\circ) [/mm] besitzen die Gleichungen [mm] a\circ [/mm] x = b und [mm] y\circ [/mm] a = b für alle [mm] a,b\in [/mm] M eine Lösung x bzw. y in M.) und des Satzes von der Kürzungsregel (Aus a [mm] \circ x_1 [/mm] = [mm] a\circ x_2 [/mm] folgt [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] und aus [mm] y_1 \circ [/mm] a = [mm] y_2 \circ [/mm] a folgt [mm] y_1=y_2) [/mm] den Satz von der Gruppentafel, der besagt, dass in jeder Zeile und jeder Spalte der Gruppentafel jedes Element von M genau einmal vorkommt. |
Ich weiß irgendwie gar nicht, wie ich hier anfangen soll bzw. wie mir die beiden anderen Sätze bei dem Beweis helfen.. ich glaub eigentlich ist es mal wieder recht logisch.. aber wenn mir wenigstens mal jemand sagen könnte wie ich anfangen kann dann kann ich hier ja meine Ideen niederschreiben 
Danke schonmal!
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
PS.: tut mir leid, ich hatte den Zusatz vergessen..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:55 Fr 06.11.2009 | | Autor: | glie |
> Beweise mit Hilfe des Satzes von der Lösbarkeit von
> Gleichungen (In einer Gruppe [mm](M,\circ)[/mm] besitzen die
> Gleichungen [mm]a\circ[/mm] x = b und [mm]y\circ[/mm] a = b für alle [mm]a,b\in[/mm]
> M eine Lösung x bzw. y in M.) und des Satzes von der
> Kürzungsregel (Aus a [mm]\circ x_1[/mm] = [mm]a\circ x_2[/mm] folgt [mm]x_1[/mm] =
> [mm]x_2[/mm] und aus [mm]y_1 \circ[/mm] a = [mm]y_2 \circ[/mm] a folgt [mm]y_1=y_2)[/mm] den
> Satz von der Gruppentafel, der besagt, dass in jeder Zeile
> und jeder Spalte der Gruppentafel jedes Element von M genau
> einmal vorkommt.
> Ich weiß irgendwie gar nicht, wie ich hier anfangen soll
> bzw. wie mir die beiden anderen Sätze bei dem Beweis
> helfen.. ich glaub eigentlich ist es mal wieder recht
> logisch.. aber wenn mir wenigstens mal jemand sagen könnte
> wie ich anfangen kann dann kann ich hier ja meine Ideen
> niederschreiben
Hallo,
also ich würde da in etwa so anfangen:
Was wäre denn, wenn in der Gruppentafel zum Beispiel in einer Zeile ein Element zweimal vorkommt?
z.B. irgendwie so ähnlich:
a b c d ....
[mm] $\circ$
[/mm]
a b c b a .....
...
Dann gilt doch laut Verknüpfungstafel:
[mm] $a\circ [/mm] a=b$
[mm] $a\circ [/mm] c=b$
Was folgt dann daraus?
Kommst du damit etwas weiter?
Gruß Glie
>
> Danke schonmal!
> Liebe Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> PS.: tut mir leid, ich hatte den Zusatz vergessen..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:16 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Drechen |
Okay.. also daraus würd dann ja folgen das
a=c ist.. aber was genau hat das mit meinen anderen Sätzen zu tun?
Ich glaub das ist mir noch nicht ganz klar..
sorry, eigentlich hätte ich das hier als neue Frage stellen müssen.. ist noch zu früh am Morgen
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> Okay.. also daraus würd dann ja folgen das
> a=c ist.. aber was genau hat das mit meinen anderen
> Sätzen zu tun?
> Ich glaub das ist mir noch nicht ganz klar..
Hallo,
Du hast für glies Gruppentafel gezeigt, daß b nicht zweimal in der Zeile vorkommt.
Denn wenn a=c, dann sind das ja gar nicht zwei Spalten.
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Zu Deinem Beweis:
Zeigen sollst Du, daß jedes Element in jeder Zeile und Spalte genau einmal vorkommt.
Das beinhaltet zweierlei:
1. Jedes Element kommt in jeder Zeile und Spalte vor
Zu zeigen sind hierfür
Sei m [mm] \in [/mm] M.
a. zu jedem [mm] a\in [/mm] M gibt es ein [mm] b\in [/mm] M mit [mm] a\circ [/mm] b= m [mm] \qquad [/mm] (m kommt in jeder Zeile vor)
b. zu jedem [mm] a\in [/mm] M gibt es ein [mm] b\in [/mm] M mit [mm] b\circ [/mm] a= m [mm] \qquad [/mm] (m kommt in jeder Spalte vor.)
Versuch's nun mal.
2. Jedes Element kommt nicht zweimal in jeder Zeile und Spalte vor.
Die kannst Du durch Widerspruch zeigen:
nimm an, m käme in einer Zeile zweimal vor.
Dann gäbe es ???
Analog für "Spalte".
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:48 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Drechen |
Sorry..ich habe einfach mit 2. angefangen... weil ich dazu zuerst eine Idee hatte..
2. Jedes Element kommt nicht zweimal in jeder Zeile und Spalte vor.
Die kannst Du durch Widerspruch zeigen:
nimm an, m käme in einer Zeile zweimal vor.
Dann gäbe es
$ [mm] a\circ [/mm] $ b= m
und $ [mm] b\circ [/mm] $ c= m
wobei c [mm] \in [/mm] M oder?
Dann würde wieder gelten b = c und somit wäre c ja keine neue Spalte oer Zeile?
Oder hab ich jetzt einen völligen Denkfehler in der Aufgabe?
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> Okay denn wenn dies gelten würde
hallo,
was meinst Du denn mit "dies"?
Sag bitte klar und deutlich, welche Teilaussage Du gerade beweisen möchtest.
Gruß v. Angela
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