Satz von Vieta / Fermat < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Sa 23.06.2007 | | Autor: | StefanN |
| Aufgabe | | Falls p [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 4), dann gibt es ein n [mm] \in \IZ [/mm] mit p | (n² + 1) |
Leider verstehe ich den Beweis dahinter nicht, könnte mir das jemand bitte (einfach) erklären?
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Sa 23.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Falls p [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 4), dann gibt es ein n [mm]\in \IZ[/mm] mit p
> | (n² + 1)
Uebersetzt heisst das: ist $p [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{4}$, [/mm] so ist $-1$ ein quadratischer Rest modulo $p$.
> Leider verstehe ich den Beweis dahinter nicht, könnte mir
> das jemand bitte (einfach) erklären?
Schreib den Beweis doch mal hier hin, dann koennen wir ihn dir erklaeren.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Sa 23.06.2007 | | Autor: | StefanN |
sei n = [mm] \bruch{(p-1)}{2}
[/mm]
es gilt außerdem k [mm] \equiv [/mm] -(p-k) (mod p)
für k = 1,.... [mm] \bruch{(p-1)}{2} [/mm] folgt
n² [mm] \equiv (-1)\bruch{(k-1)}{2} [/mm]
(p-1)! [mm] \equiv [/mm] -1 (mod p)
=> p | (n² + 1)
Ergibt im Großen und Ganzen irgendwie keinen erkennbaren Sinn, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Sa 23.06.2007 | | Autor: | DirkG |
So wie du den Beweis aufgeschrieben hast, macht er tatsächlich keinen Sinn - weil du wichtiges vergessen hast, ein Fakultätszeichen...
Sicherlich war nämlich folgendes gemeint: Sei $n = [mm] \left( \frac{p-1}{2} \right)!$. [/mm] Dann ist
[mm] $$n^2 [/mm] = [mm] \left( \prod\limits_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} k \right) \cdot \left( \prod\limits_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} k \right) \equiv \left( \prod\limits_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} k \right) \cdot \left( \prod\limits_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} -(p-k) \right) [/mm] = [mm] \left( \prod\limits_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} k \right) \cdot \left( \prod\limits_{k=\frac{p+1}{2}}^{p-1} -k \right) [/mm] = [mm] (-1)^{\frac{p-1}{2}} \cdot [/mm] (p-1)! [mm] \mod [/mm] p [mm] \; [/mm] .$$
Und jetzt den Satz von Wilson, also [mm] $(p-1)!\equiv [/mm] -1 [mm] \mod [/mm] p$ eingesetzt ergibt die gewünschten
[mm] $$n^2 \equiv -(-1)^{\frac{p-1}{2}} [/mm] = [mm] -1\mod p\;,$$
[/mm]
letztere Gleichung natürlich nur für [mm] $p\equiv 1\mod [/mm] 4$.
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