Satz von Stokes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Verifizieren Sie den Satz von Stokes für die Dreiecksfläche [mm] S\subset\IR^3 [/mm] mit den
Eckpunkten (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) zum Vektorfeld
[mm] w(x,y,z)=\vektor{z^2 \\ x^2\\ y^2} [/mm] |
Ich möchste erst das Oberflächenintegral lösen:
[mm] \integral\integral_{S}{rotw*n*dO}
[/mm]
Dabei ist n der Normaleneinheitsvektor
[mm] n=\bruch{\phi_u(u,v)\times\phi_v(u,v)}{|\phi_u(u,v)\times\phi_v(u,v)|}
[/mm]
Wie bestimme ich jetzt aber die Parametrisierung [mm] \phi(u,v) [/mm] für die Oberfläche?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mo 30.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Verifizieren Sie den Satz von Stokes für die
> Dreiecksfläche [mm]S\subset\IR^3[/mm] mit den
> Eckpunkten (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) zum
> Vektorfeld
>
> [mm]w(x,y,z)=\vektor{z^2 \\ x^2\\ y^2}[/mm]
> Ich möchste erst das
> Oberflächenintegral lösen:
>
> [mm]\integral\integral_{S}{rotw*n*dO}[/mm]
>
> Dabei ist n der Normaleneinheitsvektor
>
> [mm]n=\bruch{\phi_u(u,v)\times\phi_v(u,v)}{|\phi_u(u,v)\times\phi_v(u,v)|}[/mm]
>
> Wie bestimme ich jetzt aber die Parametrisierung [mm]\phi(u,v)[/mm]
> für die Oberfläche?
Die Ebene durch (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) hat die Gleichung
x+y+z=1.
Hilft das weiter ?
FRED
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> Die Ebene durch (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) hat die Gleichung
>
> x+y+z=1.
Wie kommst du auf die Gleichung?
Die Gleichung hätte ich so parametrisiert: x=u und y=v
[mm] \phi(u,v)=\vektor{u \\ v\\ 1-(u+v)}
[/mm]
Stimmt die Parametrisierung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Mo 30.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Die Ebene durch (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) hat
> die Gleichung
> >
> > x+y+z=1.
>
> Wie kommst du auf die Gleichung?
Hast Du sowas nie in der Schule gemacht ?
>
> Die Gleichung hätte ich so parametrisiert: x=u und y=v
>
> [mm]\phi(u,v)=\vektor{u \\ v\\ 1-(u+v)}[/mm]
>
> Stimmt die Parametrisierung?
Na ja, es fehlt noch der Definitionsbereich von [mm] \phi.
[/mm]
FRED
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> > > Die Ebene durch (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) hat
> > die Gleichung
> > >
> > > x+y+z=1.
> >
> > Wie kommst du auf die Gleichung?
>
> Hast Du sowas nie in der Schule gemacht ?
Das ist doch Vektorrechnung oder? (mag ich nicht)
Ich habe folgende Ebene in Parametardarstellung:
E: [mm] \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+r*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Um auf deine Gleichung zu kommen, muss ich die Parametardarstellung in Koordinatendarstellung bringen, richtig? Dazu kenne ich folgende Formel:
[mm] 0=(\vektor{x \\ y \\ z}-P)*n
[/mm]
Dabei ist P der Stützvektor und n der Normalvektor:
[mm] n=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}\times\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] 0=(\vektor{x \\ y \\ z}-\vektor{1 \\ 0 \\ 0})*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
0=x-1
x=1
Ich komme nicht auf deine gleichung. wo ist der fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Mo 30.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > > Die Ebene durch (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) hat
> > > die Gleichung
> > > >
> > > > x+y+z=1.
> > >
> > > Wie kommst du auf die Gleichung?
> >
> > Hast Du sowas nie in der Schule gemacht ?
>
> Das ist doch Vektorrechnung oder?
Ja
> (mag ich nicht)
Pech für die junge sympathische Mannschaft.
>
> Ich habe folgende Ebene in Parametardarstellung:
>
> E: [mm]\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+r*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Die beiden Richtungsvektoren sind falsch !!!
FRED
>
> Um auf deine Gleichung zu kommen, muss ich die
> Parametardarstellung in Koordinatendarstellung bringen,
> richtig? Dazu kenne ich folgende Formel:
>
> [mm]0=(\vektor{x \\ y \\ z}-P)*n[/mm]
>
> Dabei ist P der Stützvektor und n der Normalvektor:
>
> [mm]n=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}\times\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]0=(\vektor{x \\ y \\ z}-\vektor{1 \\ 0 \\ 0})*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> 0=x-1
>
> x=1
>
> Ich komme nicht auf deine gleichung. wo ist der fehler?
>
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ah stimmt. Die richtigen Richtungsvektoren sind:
[mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Damt haben sich meine fragen erstma erledigt, danke
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