Satz von Schwarz f. höhere Dim < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Do 28.06.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo,
es gibt ja eine Folgerung des Satzes von Schwarz für k-mal stetig differenzierbare Funktionen im Höherdimensionalen. Diese Folgerung kann mittels vollständiger Induktion bewiesen werden.
Kann mir jemand bitte einen Link angeben, oder vielleicht hier den Beweis aufzeigen?
Danke und Gruß
Takota
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Hiho,
> es gibt ja eine Folgerung des Satzes von Schwarz für k-mal
> stetig differenzierbare Funktionen im Höherdimensionalen.
> Diese Folgerung kann mittels vollständiger Induktion
> bewiesen werden.
>
> Kann mir jemand bitte einen Link angeben, oder vielleicht
> hier den Beweis aufzeigen?
dazu gibt es nur eins zu sagen: HÄ?
Deine Frage ist leider unverständlich…
Konkretisiere doch mal bitte, was genau du wissen willst.
Der Satz von Schwarz ist eigentlich eindeutig und da gibt es eigentlich nix zu verallgemeinern…
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:44 Fr 29.06.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo Gono,
hier ein Link, wo es besser erklärt ist was ich meinte:
http://www.mathepedia.de/Hoehere_Ableitungen.html
Die Frage hat FRED mir schon beantwortet.
Danke und Gruß
Takota
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:42 Fr 29.06.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> es gibt ja eine Folgerung des Satzes von Schwarz für k-mal
> stetig differenzierbare Funktionen im Höherdimensionalen.
> Diese Folgerung kann mittels vollständiger Induktion
> bewiesen werden.
>
> Kann mir jemand bitte einen Link angeben, oder vielleicht
> hier den Beweis aufzeigen?
>
> Danke und Gruß
> Takota
Machen wir mal Nägel mit Köpfen. Der Satz von Schwarz lautet so:
Sei $D [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] offen und $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] sei auf D nach allen Variablen partiell differenzierbar. Weiter sei [mm] $x_0 \in [/mm] D$ und auf einer Umgebung $U [mm] \subseteq [/mm] D$ von [mm] x_0 [/mm] seien die partiellen Ableitungen [mm] D_i(D_jf) [/mm] und [mm] D_j(D_if) [/mm] vorhanden und in [mm] x_0 [/mm] stetig. Dann ist
[mm] $D_i(D_jf)(x_0) [/mm] = [mm] D_j(D_if)(x_0)$.
[/mm]
Einen Beweis dieses Satzes findest Du in jedem vernünftigen Analysis - Buch.
Nun zur Folgerung:
D und f seien wie oben, es sei k [mm] \ge [/mm] 2 und f sei auf D k-mal stetig differenzierbar. Dann ist jede partielle Ableitung der Ordnung [mm] \le [/mm] k unabhängig von der Reihenfolge der Differentiationen.
Für den Beweis braucht man keine Induktion, sondern nur die Erkenntnis, dass zwei partielle Ableitungen von f der Ordnung j mit 2 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] k durch sukzessives Vetauschen von jeweils 2 Variablen auseinander hervorgehen, was nach obigem Satz ja richtig ist.
Ich mach Dir ein Beispiel für ein [mm] C^3 [/mm] - Funktion f. Warum ist
[mm] f_{x_1x_2x_3}= f_{x_2x_3x_1} [/mm] ?
Darum (hier deute ich nur an wie man vertauscht)
[mm] x_1x_2x_3 \to x_2x_1x_3 \to x_2x_3x_1.
[/mm]
Beim ersten [mm] \to [/mm] wurde die Reihenfolge der Differentiationen von [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] vertauscht und beim zweiten [mm] \to [/mm] wurde die Reihenfolge der Differentiationen von [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] vertauscht .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Fr 29.06.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo FRED,
danke, habe es jetzt verstanden. Super Erklärung und so einfach 
LG
Takota
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