Satz von Schröder Bernstein < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Do 20.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
geg.: Zeigen Sie mit Hilfe des Satz von Schröder Bernstein, dass für beliebige Mengen A,B,C gilt:
(|A| = |C| [mm] \wedge [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] C ) [mm] \Rightarrow [/mm] |A| = |B|
OK wir wissen wegen des Satzes von Schröder Bernstein, dass C [mm] \to [/mm] A injektiv ist sowie A [mm] \to [/mm] C. Folglich ist C [mm] \to [/mm] A bijektiv.
Jetzt muss ich zeigen dass A [mm] \to [/mm] B und B [mm] \to [/mm] A auch injektiv sind somit
B [mm] \to [/mm] A bijektiv.
So da B eine Teilmenge ist von C kann ich sagen A [mm] \to [/mm] B ist injektiv oder?
Und wie kann ich jetzt zeigen dass B [mm] \to [/mm] A injektiv ist? Wieder nach dem gleichen Prinzip. Aber C [mm] \to [/mm] A ist ja jetzt bijektiv also kann das schon mal nicht so gehen wie früher, oder?
Danke für die Antworten!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Sa 22.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo
> geg.: Zeigen Sie mit Hilfe des Satz von Schröder
> Bernstein, dass für beliebige Mengen A,B,C gilt:
>
> (|A| = |C| [mm]\wedge[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] C )
> [mm]\Rightarrow[/mm] |A| = |B|
>
> OK wir wissen wegen des Satzes von Schröder Bernstein, dass
> C [mm]\to[/mm] A injektiv ist sowie A [mm]\to[/mm] C. Folglich ist C [mm]\to[/mm] A
> bijektiv.
> Jetzt muss ich zeigen dass A [mm]\to[/mm] B und B [mm]\to[/mm] A auch
> injektiv sind somit
> B [mm]\to[/mm] A bijektiv.
>
> So da B eine Teilmenge ist von C kann ich sagen A [mm]\to[/mm] B
> ist injektiv oder?
> Und wie kann ich jetzt zeigen dass B [mm]\to[/mm] A injektiv ist?
> Wieder nach dem gleichen Prinzip. Aber C [mm]\to[/mm] A ist ja
> jetzt bijektiv also kann das schon mal nicht so gehen wie
> früher, oder?
> Danke für die Antworten!
>
Wenn [mm] $B\subseteq [/mm] C$ und |C| = |A|, dann sei g eine injektive Abbildung von B nach C und h eine Bijektive Abbildung von C nach A, dann ist [mm] $h\circ [/mm] g$ eine injektive Abbildung von B nach A.
Den Rest hast du ja.
mfG Moudi
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 02:16 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Hm..... Mir ist jetzt doch nicht ganz so klar warum C [mm] \toA [/mm] bijektiv ist. Und warum kann eigentlich C [mm] \toA [/mm] am Anfang jemals nur injektiv sein und nicht auch surjektiv wenn A eine Teilmenge con C ist?
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