Satz von John < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:47 Mi 28.02.2007 | | Autor: | Imkeje |
| Aufgabe | Sei [mm] \Delta =\{(x_1,...x_(_d_+_1_))| x_i\ge0 fuer i=1,...,d+1 und x_1+...+x_(_d_+_1_)=1\}
[/mm]
Betrachte [mm] \Delta [/mm] als ein d-dimensionalen konvexen Körper in der affinen Hyperebene [mm] H=\{(x_1,...x_(_d_+_1_))| x_1+...+x_(_d_+_1_)=1\}.
[/mm]
Zeige, dass das Ellipsoid mit dem maximalen Volumen in [mm] \Delta [/mm] eine Kugel mit Radius [mm] 1/\wurzel{d(d+1)} [/mm] mit Mittelpunkt [mm] (\bruch{1}{d+1},...,\bruch{1}{d+1})
[/mm]
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Also, wegen dem Satz von John weiß ich, dass ein eindeutig bestimmtes Ellipsoid existiert, das in [mm] \Delta [/mm] enthallten ist und ein maximales Volumen hat.
Wenn ich jetzt zeigen kann, dass dieses Ellipsoid eine Kugel mit angegeben Radius und Mittelpunkt ist bin ich fertig.
Sei also [mm] E=\{(x_1,...,x_(_d_+_1_)|(x_1-(1/(1+d))^2/a_1+...(x_(_d_+_1_)-(1/(1+d))^2/a_(_1+_d_)\le1/(d(d+1))\}.
[/mm]
Muss jetzt also zeigen, dass [mm] a_1=...=a_(_d_+_1_)=1, [/mm] denn dann ist die ellipse eine d-dim. Kugel.
Außerdem weiß ich, da E aus [mm] \Delta [/mm] ,dass für [mm] x_1,...,x_(d_+_1_) [/mm] gilt [mm] x_1+...+x_(_d_+_1_)=1.
[/mm]
Wie kann ich das geforderte zeigen?
Komme nicht weiter, kann mir jemand bitte bitte helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:24 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Imkeje |
Hat nicht irgendjemand eine Idee? Ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter, da ich keinen sinnvollen Ansatz finde!
Bitte helft mir!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 31.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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