Satz von Gauss in der Ebene < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 So 24.03.2013 | | Autor: | mmbongo |
| Aufgabe | Sei [mm] \vec{u}: \IR^2 \to \IR^2 [/mm] gegeben durch: [mm] \vec{u}(x,y) [/mm] = [mm] (x+e^y, cosx+y)^T
[/mm]
Sei G [mm] \subset \IR^2 [/mm] die Kreisscheibe um den Nullpunkt mit Radius r=1 und Rand [mm] \partial [/mm] G. Weiter bezeichne [mm] \vec{n}=\vec{n}(x,y) [/mm] das an [mm] \partial [/mm] G nach außen gerichtete Einheitsnormalenfeld. Berechnen Sie a) mit und b) ohne dem Satz von GAUSS in der Ebene das Kurvenintegral: I= [mm] \integral_{\partial G} \vec{u}*\vec{n}{ds} [/mm] |
Teilaufgabe a) kann ich mit dem Ansatz: [mm] I=\integral_{B} div\vec{u}dB [/mm] = [mm] \integral_{\partial G} \vec{u}*\vec{n}{ds} [/mm] lösen.
Denn [mm] div\vec{u}(x,y)=2 [/mm] und mit [mm] dB=rdrd\phi [/mm] kann ich schreiben [mm] I=2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{1}rdrd\phi=2\pi
[/mm]
Teilaufgabe b). Durch die Parameterdarstellung der Kreisscheibe [mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{cost \\ sint} [/mm]
[mm] ds=\vec{x}'(t)=\vektor{-sint \\ cost} [/mm] und [mm] \vec{n}=\vektor{cost \\ sint} [/mm] komme ich nach ausmultiplizieren auf das Integral: [mm] \integral_{0}^{2\pi}-cos^2tsint-e^{sint}costsint+cos^3tsint+sin^2tcost [/mm] dt
Probleme bereitet mir das e^(sint)costsint und ich kann deswegen das Integral nicht lösen, kann mir da vll jemand einen geiegneten Lösungsansatz sagen?
Vielen Dank im voraus!
Grüße mmbongo
Nur für Erst-Poster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mmbongo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm]\vec{u}: \IR^2 \to \IR^2[/mm] gegeben durch: [mm]\vec{u}(x,y)[/mm] =
> [mm](x+e^y, cosx+y)^T[/mm]
>
> Sei G [mm]\subset \IR^2[/mm] die Kreisscheibe um den Nullpunkt mit
> Radius r=1 und Rand [mm]\partial[/mm] G. Weiter bezeichne
> [mm]\vec{n}=\vec{n}(x,y)[/mm] das an [mm]\partial[/mm] G nach außen
> gerichtete Einheitsnormalenfeld. Berechnen Sie a) mit und
> b) ohne dem Satz von GAUSS in der Ebene das Kurvenintegral:
> I= [mm]\integral_{\partial G} \vec{u}*\vec{n}{ds}[/mm]
> Teilaufgabe
> a) kann ich mit dem Ansatz: [mm]I=\integral_{B} div\vec{u}dB[/mm] =
> [mm]\integral_{\partial G} \vec{u}*\vec{n}{ds}[/mm] lösen.
> Denn [mm]div\vec{u}(x,y)=2[/mm] und mit [mm]dB=rdrd\phi[/mm] kann ich
> schreiben
> [mm]I=2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{1}rdrd\phi=2\pi[/mm]
> Teilaufgabe b). Durch die Parameterdarstellung der
> Kreisscheibe [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{cost \\ sint}[/mm]
> [mm]ds=\vec{x}'(t)=\vektor{-sint \\ cost}[/mm] und
> [mm]\vec{n}=\vektor{cost \\ sint}[/mm] komme ich nach
> ausmultiplizieren auf das Integral:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}-cos^2tsint-e^{sint}costsint+cos^3tsint+sin^2tcost[/mm]
> dt
> Probleme bereitet mir das e^(sint)costsint und ich kann
> deswegen das Integral nicht lösen, kann mir da vll jemand
> einen geiegneten Lösungsansatz sagen?
Das kannst Du mit Hilfe der partiellen Integration lösen.
> Vielen Dank im voraus!
> Grüße mmbongo
>
> Nur für Erst-Poster
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 So 24.03.2013 | | Autor: | mmbongo |
Hallo MathePower,
vielen Dank für den Tipp ich habe das jetzt mal durchprobiert und komme auf folgende Lösung:
[mm] \integral{e^{sint}sin(t)cos(t)}dt [/mm] kann ich ja eine substitution durchführen mit u=sin(t) und du=cos(t)dt:
[mm] =\integral{e^uudu}
[/mm]
nun führe ich die partielle integration durch, [mm] \integral{fdg}=fg-\integral{gdf} [/mm] mit
f=u, [mm] dg=\{e^udu}
[/mm]
df=du, [mm] g=e^u
[/mm]
[mm] =e^uu-\integral{e^udu}
[/mm]
Rücksubstitution:
[mm] e^{sint}(sin(t)-1) [/mm]
Und in den Integralsgrenzen:
[mm] =\integral_{0}^{2\pi} e^{sin(t)}cos(t)sin(t)dt [/mm] = 0
auch die anderen Integrale werden in diesen Grenzen null. Das ist doch dann ein Widerspruch zum Teil a) wo das Ergebnis [mm] 2\pi [/mm] ist. Oder sehe ich das Falsch
Grüße,
mmbongo
Hallo mmbongo,
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> > Sei [mm]\vec{u}: \IR^2 \to \IR^2[/mm] gegeben durch: [mm]\vec{u}(x,y)[/mm] =
> > [mm](x+e^y, cosx+y)^T[/mm]
> >
> > Sei G [mm]\subset \IR^2[/mm] die Kreisscheibe um den Nullpunkt mit
> > Radius r=1 und Rand [mm]\partial[/mm] G. Weiter bezeichne
> > [mm]\vec{n}=\vec{n}(x,y)[/mm] das an [mm]\partial[/mm] G nach außen
> > gerichtete Einheitsnormalenfeld. Berechnen Sie a) mit und
> > b) ohne dem Satz von GAUSS in der Ebene das Kurvenintegral:
> > I= [mm]\integral_{\partial G} \vec{u}*\vec{n}{ds}[/mm]
> >
> Teilaufgabe
> > a) kann ich mit dem Ansatz: [mm]I=\integral_{B} div\vec{u}dB[/mm] =
> > [mm]\integral_{\partial G} \vec{u}*\vec{n}{ds}[/mm] lösen.
> > Denn [mm]div\vec{u}(x,y)=2[/mm] und mit [mm]dB=rdrd\phi[/mm] kann ich
> > schreiben
> > [mm]I=2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{1}rdrd\phi=2\pi[/mm]
> > Teilaufgabe b). Durch die Parameterdarstellung der
> > Kreisscheibe [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{cost \\ sint}[/mm]
> > [mm]ds=\vec{x}'(t)=\vektor{-sint \\ cost}[/mm] und
> > [mm]\vec{n}=\vektor{cost \\ sint}[/mm] komme ich nach
> > ausmultiplizieren auf das Integral:
> >
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}-cos^2tsint-e^{sint}costsint+cos^3tsint+sin^2tcost[/mm]
> > dt
> > Probleme bereitet mir das e^(sint)costsint und ich kann
> > deswegen das Integral nicht lösen, kann mir da vll jemand
> > einen geiegneten Lösungsansatz sagen?
>
>
> Das kannst Du mit Hilfe der
> partiellen Integration
> lösen.
>
>
> > Vielen Dank im voraus!
> > Grüße mmbongo
> >
> > Nur für Erst-Poster
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo mmbongo,
> Hallo MathePower,
>
> vielen Dank für den Tipp ich habe das jetzt mal
> durchprobiert und komme auf folgende Lösung:
>
> [mm]\integral{e^{sint}sin(t)cos(t)}dt[/mm] kann ich ja eine
> substitution durchführen mit u=sin(t) und du=cos(t)dt:
> [mm]=\integral{e^uudu}[/mm]
> nun führe ich die partielle integration durch,
> [mm]\integral{fdg}=fg-\integral{gdf}[/mm] mit
> f=u, [mm]dg=\{e^udu}[/mm]
> df=du, [mm]g=e^u[/mm]
> [mm]=e^uu-\integral{e^udu}[/mm]
> Rücksubstitution:
> [mm]e^{sint}(sin(t)-1)[/mm]
>
> Und in den Integralsgrenzen:
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi} e^{sin(t)}cos(t)sin(t)dt[/mm] = 0
> auch die anderen Integrale werden in diesen Grenzen null.
> Das ist doch dann ein Widerspruch zum Teil a) wo das
> Ergebnis [mm]2\pi[/mm] ist. Oder sehe ich das Falsch
>
Der Integrand ist falsch.
Ich erhalte als Integrand:
[mm]\[\mathrm{sin}\left( t\right) \,\mathrm{cos}\left( \mathrm{cos}\left( t\right) \right) +{\mathrm{sin}\left( t\right) }^{2}+{\mathrm{cos}\left( t\right) }^{2}+{e}^{\mathrm{sin}\left( t\right) }\,\mathrm{cos}\left( t\right) \][/mm]
> Grüße,
> mmbongo
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 So 24.03.2013 | | Autor: | mmbongo |
Danke MathePower!
damit komme ich auf [mm] 2\pi, [/mm] wo lag mein Fehler, ist es falsch mit der Substitution zu arbeiten? In ihrem vorherigen Link zur partiellen Integration fiel es mir schwer das richtige $ u \ [mm] \Rightarrow u'\quad \mathsf{und}\quad [/mm] v' [mm] \Rightarrow [/mm] v $ zu sehen. Deshalb habe ich versucht mit der Substitution zu rechnen und das Integral auf eine bekannte Form zu bringen um in der Formelsammlung nachschlagen. (Formeln&Hilfen 6.Auflage, Integral 241.)
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Hallo mmbongo,
> Danke MathePower!
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> damit komme ich auf [mm]2\pi,[/mm] wo lag mein Fehler, ist es falsch
> mit der Substitution zu arbeiten? In ihrem vorherigen Link
> zur partiellen Integration fiel es mir schwer das richtige
> [mm]u \ \Rightarrow u'\quad \mathsf{und}\quad v' \Rightarrow v [/mm]
> zu sehen. Deshalb habe ich versucht mit der Substitution zu
> rechnen und das Integral auf eine bekannte Form zu bringen
> um in der Formelsammlung nachschlagen. (Formeln&Hilfen
> 6.Auflage, Integral 241.)
Die Kurve lautet doch so:
[mm]\vec{u}(x,y) = (x+e^y, \blue{cos\left(x\right)}+y)^T[/mm]
Gruss
MathePower
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