Satz von Baire < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige: Es gibt keine Funktion f: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] , welche in allen rationalen Zahlen stetig und in allen irrationalen Zahlen unstetig ist.
Hinweis: Sei S(f) := {x [mm] \in [/mm] [0,1] | f stetig in x}. Überlegen Sie sich offene Mengen [mm] O_n [/mm] mit S(f) = [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} O_n [/mm] . Nehmen Sie an, es existiere ein f mit S(f) = [mm] \IQ. [/mm] Stellen Sie nun [0,1] geeignet als abzählbare Vereinigung abgeschlossener Teilmengen dar und erzeugen Sie einen Widerspruch mit dem Satz von Baire. |
Hallo!
Eigentlich ist der Hinweis ziemlich umfangreich und sagt eigentlich genau, was man tun soll, aber ich scheitere trotzdem... Mit den offenen Mengen bin ich noch nie so richtig klargekommen und wie man jetzt plötzlich die Menge S(f) als Schnitt über unendlich viele offene Mengen darstellen kann, ist für mich nicht nachvollziehbar. Auch der Satz von Baire bereitet mir Kopfschmerzen. Der besagt nach Vorlesung:
(X,d) sei ein vollständiger metrischer Raum und [mm] (A_i)_{i\in \IN} [/mm] seien abgeschlossene Teilmengen von X. Enthält [mm] \bigcup_{i \in \IN} A_i [/mm] eine offene Kugel, so gibt es ein i [mm] \in \IN [/mm] ,sodass [mm] A_i [/mm] eine offene Kugel enthält.
Mit anderen Worten: Die Vereinigung abzählbar vieler nirgends dichter abgeschlossener Mengen enthält keine inneren Punkte.
Oki, das also der Satz von Baire. Und was sagt der mir jetzt?
Danke schonmal für eure Bemühungen!!
Lg Kiki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Mi 22.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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