Satz v. Picard-Lindelöf < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Di 04.03.2008 | | Autor: | Crispy |
Hallo, ich verstehe einen Beweisschritt nicht im Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf (globale Version).
Sei die gewichtete Maximums-Metrik wie folgt definiert:
[mm] d(x,y)= \underset{t \in I}{\max}\,e^{-2L \left| t - t_0 \right|} \left| x(t)-y(t) \right| [/mm]
Es gilt zu zeigen: [mm] d(Tx,Ty) \le \bruch{1}{2} d(x,y) [/mm]
(Also T ist Kontraktions-Operator)
[mm] Tx(t)-Ty(t) = \integral_{t_0}^{t} \left[ f(s,x(s))-f(s,y(s)) \right] \, ds [/mm]
also gilt für [mm] t \ge t_0 [/mm]
[mm] \left| Tx(t)-Ty(t) \right| \le \integral_{t_0}^{t} \left| x(s)-y(s) \right| \, ds [/mm]
Folglich:
[mm]\left| Tx(t)-Ty(t) \right| \,e^{-2L \left| t - t_0 \right|} \le[/mm]
[mm] \le d(x,y) \, L \, \integral_{t_0}^{t} e^{-2L \left| t - t_0 \right|} \, e^{2L \left| s - t_0 \right|} \, ds =[/mm]
[mm] = d(x,y) \, L \, \integral_{t_0}^{t} e^{-2L (t-s)} \, ds \le d(x,y) \, L \, \integral_{0}^{ \infty} e^{-2L u} \, du =[/mm]
[mm] = \bruch{1}{2} d(x,y) [/mm]
Was mir unklar ist ist der Schritt von
[mm]\left| Tx(t)-Ty(t) \right| \,e^{-2L \left| t - t_0 \right|} \le[/mm]
zu
[mm] \le d(x,y) \, L \, \integral_{t_0}^{t} e^{-2L \left| t - t_0 \right|} \, e^{2L \left| s - t_0 \right|} \, ds[/mm]
Es wäre nett, wenn mir hier jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Vielen Dank,
Crispy
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Hi,
> Hallo, ich verstehe einen Beweisschritt nicht im Beweis des
> Satzes von Picard-Lindelöf (globale Version).
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> Sei die gewichtete Maximums-Metrik wie folgt definiert:
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> [mm]d(x,y)= \underset{t \in I}{\max}\,e^{-2L \left| t - t_0 \right|} \left| x(t)-y(t) \right|[/mm]
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> Es gilt zu zeigen: [mm]d(Tx,Ty) \le \bruch{1}{2} d(x,y)[/mm]
> (Also
> T ist Kontraktions-Operator)
>
> [mm]Tx(t)-Ty(t) = \integral_{t_0}^{t} \left[ f(s,x(s))-f(s,y(s)) \right] \, ds[/mm]
>
> also gilt für [mm]t \ge t_0[/mm]
> [mm]\left| Tx(t)-Ty(t) \right| \le \integral_{t_0}^{t} \left| x(s)-y(s) \right| \, ds[/mm]
>
> Folglich:
> [mm]\left| Tx(t)-Ty(t) \right| \,e^{-2L \left| t - t_0 \right|} \le[/mm]
>
> [mm]\le d(x,y) \, L \, \integral_{t_0}^{t} e^{-2L \left| t - t_0 \right|} \, e^{2L \left| s - t_0 \right|} \, ds =[/mm]
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> [mm]= d(x,y) \, L \, \integral_{t_0}^{t} e^{-2L (t-s)} \, ds \le d(x,y) \, L \, \integral_{0}^{ \infty} e^{-2L u} \, du =[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{2} d(x,y)[/mm]
>
> Was mir unklar ist ist der Schritt von
> [mm]\left| Tx(t)-Ty(t) \right| \,e^{-2L \left| t - t_0 \right|} \le[/mm]
>
> zu
> [mm]\le d(x,y) \, L \, \integral_{t_0}^{t} e^{-2L \left| t - t_0 \right|} \, e^{2L \left| s - t_0 \right|} \, ds[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
muss zugeben, ich musste auch eine weile dran knobeln (und externe informationsquellen suchen... ), um diesen schritt zu verstehen. Ich versuche es dir zu erklaeren:
$\left| Tx(t)-Ty(t) \right| \,e^{-2L \left| t - t_0 \right|$
ist nach definition und obiger abschaetzung
$\le L e^{-2L | t - t_0|} \integral_{t_0}^{t} \left| x(s)-y(s) \right| \, ds$
jetzt kommt der casus knaxus: nach definition von $d(x,y)$ (erste formel bei dir) gilt:
$\left| x(s)-y(s) \right|\le e^{2L | s - t_0|} d(x,y)$ .
Klar? Wenn du das einsetzt, erhaeltst du die naechste Zeile in deinem skript.
gruss
matthias
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