Satz über ggT vonPolynomen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien a,b,f,g Polynome mit deg(a)<deg(f) und deg(b)<deg(g).
Es gelte: ag+bf = 0
Dann ist [mm] ggT(f,g)\neq [/mm] 1 |
Hallo!
Eigentlich ist das eine Äquivalenz, aber die andere Richtung ist leicht. Zu dieser Richtung in der Aufgabe habe ich einen Beweis gefunden, der lautet:
Sei b · f = a · g, dann können nicht alle Teiler von f in a aufgehen, da der
Grad von a zu klein ist, also muß f einen gemeinsamen Teiler mit g besitzen.
Das verstehe ich nicht ganz, denn könnte es nicht sein, dass einfach ggT(a,b) [mm] \neq [/mm] 0 ist und einfach von den beiden Polynomen a und b erledigt wird, dass die Gleichung hinhaut?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Fr 21.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Martin!
> Es seien a,b,f,g Polynome mit deg(a)<deg(f) und
> deg(b)<deg(g).
Hier ist noch ganz wichtig, dass $a [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] b$ ist!
> Es gelte: ag+bf = 0
> Dann ist [mm]ggT(f,g)\neq[/mm] 1
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> Hallo!
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> Eigentlich ist das eine Äquivalenz, aber die andere
> Richtung ist leicht. Zu dieser Richtung in der Aufgabe habe
> ich einen Beweis gefunden, der lautet:
>
> Sei b · f = a · g, dann können nicht alle Teiler von f in a
> aufgehen, da der
> Grad von a zu klein ist, also muß f einen gemeinsamen
> Teiler mit g besitzen.
>
> Das verstehe ich nicht ganz, denn könnte es nicht sein,
> dass einfach ggT(a,b) [mm]\neq[/mm] 0 ist und einfach von den
> beiden Polynomen a und b erledigt wird, dass die Gleichung
> hinhaut?
Nein, das kann nicht sein, da dann der Grad von $a$ und $b$ zu gross sein muesste.
Nimm dir doch mal eine Primfaktorzerlegung von $f$. Jeder Primfaktor muss entweder $a$ oder $g$ teilen. Wenn $f$ und $g$ teilerfremd sind, muss jeder Primfaktor $a$ teilen (ansonsten waer er ja ein gemeinsamer Teiler von $f$ und $g$). Damit muss jedoch bereits ganz $f$ ein Teiler von $a$ sein, womit [mm] $\deg [/mm] a [mm] \ge \deg [/mm] f$ sein muss.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Fr 21.03.2008 | | Autor: | martin1984 |
Ok habs gerafft, eigentlich nur logisch...
Danke!
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