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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine stetige diffbare Funktion mit f(0) [mm] \not=0. [/mm] Wir betrachten die Gleichung
(2) [mm] a*f(x)=\integral_{0}^{x}{f(at) dt}
[/mm]
in x [mm] \in \IR, [/mm] die von einem Parameter a [mm] \in \IR [/mm] abhängt.
Zeigen Sie, dass es offene Umgebungen U und V von 0 in [mm] \IR [/mm] gibt, so dass die Gleichung (2) für alle a [mm] \in [/mm] V eine eindeutige Lösung x=h(a) [mm] \in [/mm] U besitzt. Zeigen Sie weiterhin, dass die Abbildung h: V [mm] \to [/mm] U, a [mm] \mapsto [/mm] h(a) stetig diffbar ist und dass h'(0)=1 gilt. |
Mal wieder kleine Verständnisprobleme mit der Lösung.
Lösung:
Wir betrachten die Funktion F: [mm] \IR^2 \to \IR, F(x,a)=a*f(x)-\integral_{0}^{x}{f(at) dt}. [/mm] Es gilt F(0,0)=0. Außerdem ist F diffbar, da die partiellen Ableitungen
[mm] F_x(x,a)=a*f'(x)-f(ax) [/mm] und [mm] F_a(x,a)=f(x)-\integral_{0}^{x}{t*f'(at) dt}
[/mm]
existieren und stetig sind. Zusätzlich ist [mm] F_x(0,0)=-f(0) \not=0. [/mm] Damit gibt es nach dem Satz über die implizite Funktion offene Umgebungen U und V von 0 in [mm] \IR, [/mm] so dass die Gleichung (2) für alle a [mm] \in [/mm] V eine eindeutige Lösung x=h(a) [mm] \in [/mm] U besitzt. Weiterhin ist nach diesem Satz die Abbildung von h stetig und diffbar und es gilt
[mm] h'(0)=-\bruch{F_a(0,0)}{F_x(0,0)}=\bruch{f(0)}{f(0)}=1.
[/mm]
So jetzt meine schönen Fragen:
1) Woher weiß man, dass F(0,0)=0 gilt? Also, dass 0*f(0)=0 ist klar, aber wie berechnet man dann [mm] \integral_{0}^{x}{f(at) dt} [/mm] zu 0???
2) Ähnliches Problem dann später bei der Abbleiung, dass [mm] F_x(0,0)=f(0) [/mm] ist klar, aber wie kriegen die hier [mm] \integral_{0}^{x}{t*f'(at) dt} [/mm] zu 0?? Müsste man nicht wieder einfach aufleiten? Dann würde ich aber wieder auf f(at) kommen. und das wäre ja dann f(0) [mm] \not=0, [/mm] also kann da was bei meiner idee nicht stimmen.
Kann mir vielleicht jemand das erklären?
Danke und Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine stetige diffbare Funktion mit f(0)
> [mm]\not=0.[/mm] Wir betrachten die Gleichung
>
> (2) [mm]a*f(x)=\integral_{0}^{x}{f(at) dt}[/mm]
>
> in x [mm]\in \IR,[/mm] die von einem Parameter a [mm]\in \IR[/mm] abhängt.
>
> Zeigen Sie, dass es offene Umgebungen U und V von 0 in [mm]\IR[/mm]
> gibt, so dass die Gleichung (2) für alle a [mm]\in[/mm] V eine
> eindeutige Lösung x=h(a) [mm]\in[/mm] U besitzt. Zeigen Sie
> weiterhin, dass die Abbildung h: V [mm]\to[/mm] U, a [mm]\mapsto[/mm] h(a)
> stetig diffbar ist und dass h'(0)=1 gilt.
> Mal wieder kleine Verständnisprobleme mit der Lösung.
>
> Lösung:
>
> Wir betrachten die Funktion F: [mm]\IR^2 \to \IR, F(x,a)=a*f(x)-\integral_{0}^{x}{f(at) dt}.[/mm]
> Es gilt F(0,0)=0. Außerdem ist F diffbar, da die partiellen
> Ableitungen
>
> [mm]F_x(x,a)=a*f'(x)-f(ax)[/mm] und
> [mm]F_a(x,a)=f(x)-\integral_{0}^{x}{t*f'(at) dt}[/mm]
>
> existieren und stetig sind. Zusätzlich ist [mm]F_x(0,0)=-f(0) \not=0.[/mm]
> Damit gibt es nach dem Satz über die implizite Funktion
> offene Umgebungen U und V von 0 in [mm]\IR,[/mm] so dass die
> Gleichung (2) für alle a [mm]\in[/mm] V eine eindeutige Lösung
> x=h(a) [mm]\in[/mm] U besitzt. Weiterhin ist nach diesem Satz die
> Abbildung von h stetig und diffbar und es gilt
>
>
> [mm]h'(0)=-\bruch{F_a(0,0)}{F_x(0,0)}=\bruch{f(0)}{f(0)}=1.[/mm]
>
>
> So jetzt meine schönen Fragen:
>
> 1) Woher weiß man, dass F(0,0)=0 gilt? Also, dass 0*f(0)=0
> ist klar, aber wie berechnet man dann
> [mm]\integral_{0}^{x}{f(at) dt}[/mm] zu 0???
Das x ist doch Null, also hast [mm]\integral_0^0{irgendwas}[/mm] und das ist Null.
>
> 2) Ähnliches Problem dann später bei der Abbleiung, dass
> [mm]F_x(0,0)=f(0)[/mm] ist klar, aber wie kriegen die hier
> [mm]\integral_{0}^{x}{t*f'(at) dt}[/mm] zu 0?? Müsste man nicht
> wieder einfach aufleiten? Dann würde ich aber wieder auf
> f(at) kommen. und das wäre ja dann f(0) [mm]\not=0,[/mm] also kann
> da was bei meiner idee nicht stimmen.
Hier wäre das wohl dieselbe Antwort.
>
> Kann mir vielleicht jemand das erklären?
>
> Danke und Gruß
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achso, gleich die 0 für x einsetzten.
ich dachte, man muss erst integrieren, dann die grenze einsetzen und dann entsprechend für x null einsetzen.
und wenn ich jetz 0 nicht einsetzen würde, wie würdest du dieses integral berechnen [mm] \integral_{0}^{x}{f(at) dt} [/mm] oder [mm] \integral_{0}^{x}{t\cdot{}f'(at) dt}?? [/mm] Wüsste nämlich gerade nicht, wie das gehen könnte.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ja die Funktion f ist doch gar nicht gegeben.
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Könnte man es denn so allgemein nicht integrieren, ohne das ne funktion dazu gegeben ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:57 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ja du könntest schon z.B. schreiben [mm]\integral_{0}^{x}{f(at) dt} = \frac{1}{a}[F(ax) - F(0)] [/mm] (wobei F die Stammfunktion von f ist), aber was bringt dir das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:13 Mi 23.07.2008 | | Autor: | jaruleking |
ne hast recht, bringt nichts.
Dachte da kommt was schöneres raus 
trotzdem danke.
Gruß
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Hi, nochmal so eine ähnliche Aufgabe, wo ich bisschen Probleme habe:
Zeigen Sie, dass sich die Gleichung x+y+z=sin(xyz) in einer Umgebung V von (0,0,0) [mm] \in \IR^3 [/mm] eindeuttig nach z auflösen lässt, d.h. auf einer geeigeneten Umgebung U von (0,0) existiert eine Funktion u mit der Eigenschaft, dass [mm] \{(x,y,(u(x,y)) | (x,y) \in U \} [/mm] die Lösungsmenge obiger Gleichung in V darstellt.
Berechnen Sie außerdem die partiellen Ableitungen von u an der Stelle (0,0).
So genau bei der Ableitung habe ich bisschen Probleme. Erstmal die Lösung:
Wir brauchen von der Funktion f(x,y,z)=x+y+z-sin(xyz) die partiellen Ableitungen [mm] Df=\vektor{1-yz*sin(xyz) \\ 1-xz*sin(xyz) \\1-xy*sin(xyz) }. [/mm] Um den Satz über implizite Fkt. anweden zu können, muss die Ableitung bzgl. z ungleich 0 sein. Es ergibt sich für (x,y,z)=(0,0,0) somit 1-xy*sin(xyz)=1. Also existiert in einer Umgebung U von (0,0) eine Funktion u mit der gegebenen Eigenschaft.
Nach dem Satz über implizite Funktionen ergibt sich für die Ableitung von u:
[mm] D_{(0,0)}u=-(\bruch{\partial f}{\partial z}(0,0,u(0,0))^{-1}\vektor{\bruch{\partial f}{\partial x}\\ \bruch{\partial f}{\partial y}}(0,0,u(0,0))=-1\vektor{1 \\ 1}.
[/mm]
So mein Problem ist gerade, weil ich bestimmt wieder ein brett vorm kopf habe, wie berechnen die [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0,u(0,0), [/mm] mir gehts vor allem um (0,0,u(0,0)???
Danke für Hilfe.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Mi 23.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Differenziere zunächst
f(x,y,u(x,y)) mit der kettenregel nach y und setze dann x=y=0.
FRED
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ja aber die Frage ist ja, ist f(x,y,u(x,y))=x+y+z-sin(xyu(x,y))???
und jetzt nach y ableiten, wieso y und nicht z??
nach y wäre es doch:
[mm] f_y(x,y,u(x,y))=1-x*u(xy)_y*cos(xyu(x,y)) [/mm] oder???
für x=y=0 müsste doch folgen 1??
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Hallo jaruleking,
> ja aber die Frage ist ja, ist
> f(x,y,u(x,y))=x+y+z-sin(xyu(x,y))???
Da Du die Funktion nach z [mm]=u\left(x,y\right)[/mm] auflöst, hast Du nun
[mm]f\left(x,y,u\left(x,y\right)=x+y+u\left(x,y\right)-\sin\left(x*y*u\left(x,y\right)\right)=0[/mm]
Leitest Du [mm]f\left(x,y,u\left(x,y\right)=0[/mm] jetzt nach y ab, so erhältst Du:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial y}+\bruch{\partial f}{\partial z}\bruch{\partial z}{\partial y}=0[/mm]
Daraus erhältst Du
[mm]\bruch{\partial z}{\partial y}= -\left(\bruch{\partial f}{\partial z}\right)^{-1}*\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm]
Und hier jetzt die Werte für x,y,z einsetzen.
>
> und jetzt nach y ableiten, wieso y und nicht z??
Wie die Ableitung nach y zustande kommt, war die Frage.
>
> nach y wäre es doch:
>
> [mm]f_y(x,y,u(x,y))=1-x*u(xy)_y*cos(xyu(x,y))[/mm] oder???
>
> für x=y=0 müsste doch folgen 1??
Gruß
MathePower
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