Satz über Diskriminante < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:19 Mo 28.01.2013 | | Autor: | johnny23 |
| Aufgabe | | R Ring. [mm] n\ge2, f=X^n+aX+b \in [/mm] R[X]. Zu zeigen: [mm] D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}((1-n)^{n-1}a^n+n^nb^{n-1}) [/mm] |
Hallo liebes Forum,
hier ist die Gleichheit zu zeigen und da ist mit doch gleich das folgende Korollar aus dem Bosch in den Sinn gekommen: [mm] D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}R(f,f') [/mm] , wobei R für die Resultante steht. Also müsste ich hier nur $R(f,f')$ berechnen, dabei tue ich mich aber etwas schwer. Bislang habe ich:
[mm] f=X^n+aX+b [/mm] mit den Koeffizienten [mm] a_{0}=b, a_{1}=a, a_{2}...a_{n-1}=0, a_{n}=1
[/mm]
[mm] f'=nX^{n-1}+a [/mm] mit den Koeffizienten [mm] b_{0}=a, b_{1}...b_{n-2}=0, b_{n-1}=n
[/mm]
[mm] R(f,f')=det\pmat{ b & a & 0 & 0 & ... & 0 & 1 & 0 & 0 & ... \\ 0 & b & a & 0 & 0 & ... & 0 & 1 & 0 & ... \\ 0 & 0 & b & a & 0 & 0 & ... & 0 & 1 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a & 0 & ... & ... & 0 & n & 0 & ... & ... & ... \\ 0 & a & 0 & ... & ... & 0 & n & 0 & ... & ... \\ 0 & 0 & a & 0 & ... & ... & 0 & n & 0 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... }
[/mm]
Ist dies zunächst korrekt? Welche Zeilenoperationen muss ich machen, um den gewünschten Ausdruck zu erhalten? Ich habe einiges Probiert aber komme einfach nicht auf [mm] (1-n)^{n-1}a^n+n^nb^{n-1}
[/mm]
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Mo 28.01.2013 | | Autor: | johnny23 |
So hat sich erledigt. Habe die Koeffizienten, wie man leicht sieht, in falscher Reihenfolge in die Matrix gehauen. Dann klappts auch mit Gauß. Danke
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