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Hi
ich habe folgendes problem.
ich weiß, dass f '(x)=0 und f ''(x0) = 0 und f '''(x0) <> 0 für einen sattelpunkt gelten muss. was liegt aber vor, wenn f '''(x0) = 0 ist?
danke
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Mo 28.03.2005 | | Autor: | dark-sea |
Ich dachte, es sei so:
wenn f'(x)=0, f''(x)=0 und f'''(x)=0 ist, dann spricht man von einem Sattelpunkt und
wenn f'(x)=0, f''(x)=0 und f'''(x) [mm] \not=0 [/mm] ist, dann spricht man von einem Wendepunkt?!
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Hi, dark-sea,
> Ich dachte, es sei so:
> wenn f'(x)=0, f''(x)=0 und f'''(x)=0 ist, dann spricht man
> von einem Sattelpunkt und
> wenn f'(x)=0, f''(x)=0 und f'''(x) [mm]\not=0[/mm] ist, dann spricht
> man von einem Wendepunkt?!
Wo Du das auch immer her hast: ES IST FALSCH!
Richtig ist:
Ein SATTELPUNKT (=TERRASSENPUNKT) ist ein spezieller WENDEPUNKT,
nämlich ein Wendepunkt, in dem der Graph der Funktion eine waagrechte Tangente aufweist.
Somit gilt:
Falls [mm] f''(x_{0}) [/mm] = 0 und [mm] f'''(x_{0}) \not= [/mm] 0 ist, so liegt ein Wendepunkt vor.
Falls ZUSÄTZLICH (!!) noch [mm] f'(x_{0}) [/mm] = 0 ist, liegt sogar ein Terrassenpunkt vor.
(FORMELSAMMLUNG!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Mo 28.03.2005 | | Autor: | VB-Hacker |
danke das hat mir mehr geholfen als du dir denken kannst 
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Hi, VB-Hacker,
dann kann's trotzdem ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt) sein, vielleicht aber auch ein Extrempunkt.
Beispiel: f(x) = [mm] x^{4}
[/mm]
f'(x) = [mm] 4x^{3}
[/mm]
f''(x) = [mm] 12x^{2}
[/mm]
f'''(x) = 24x
[mm] f^{IV}(x) [/mm] = 24.
Wie Du siehst, gilt für x=0 genau das, was Du in Deiner Frage vorgeschlagen hast, nämlich:
f'(0) = 0; f''(0) = 0; aber auch f'''(0) = 0.
Damit "versagt" zunächst mal das übliche Kriterium.
Dann nimmst Du [mm] f^{IV} [/mm] und stellts fest: [mm] f^{IV}(0) [/mm] > 0.
Unsere Funktion hat also einen Tiefpunkt T(0;0)
Wenn Du dasselbe mit f(x) = [mm] x^{5} [/mm] machst, gilt sogar:
f'(0) = f''(0) = f''(0) = [mm] f^{IV}(0) [/mm] = 0, aber: [mm] f^{V}(0) \not= [/mm] 0. Diesmal liegt also für x=0 ein Terrassenpunkt vor.
Also: Die Entscheidung, ob Extrempunkt oder Terrassenpunkt, ergibt sich aus der nächsten Ableitung, die nicht =0 ist: Ist diese von gerader Ornung, liegt ein EP vor, ist sie von ungerader Ordnung, ein Terrassenpunkt.
Alternative:
Die Vielfachheit der "Nullstelle" von f''(x) (also der 2. Ableitung !!!!!) kann Dir darüber ebenfalls Aufschluss geben:
Ist die Nullstelle von ungerader Ordnung, ist's ein Wendepunkt, ist sie von gerader Ordnung, kein Wendepunkt. (Gilt also auch für "einfache" Wendepunkte, nicht nur bei Terrassenpunkten!)
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