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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Mi 16.02.2005 | | Autor: | TWA |
Guten Morgen,
ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem:
[mm] f(x)=\bruch{a}{x-1}-\bruch{1}{x^2} [/mm] (mit [mm] a\ne0)
[/mm]
Wie ist a zu wählen, wenn f(x) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente haben soll?
Das heißt wohl man solle a so wählen, daß f(x) einen Sattelpinkt hat. Es müssen also folgende hinreichenden Bedingungen erfüllt werden:
[mm] f'(x_{0})=0, f''(x_{0})=0, f'''(x_{0})\ne0
[/mm]
Dann habe ich mal die ersten drei Ableitungen gebildet:
[mm] f'(x)=\bruch{-a}{(x-1)^2}+\bruch{2}{x^3}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-2a}{(x-1)^3}-\bruch{6}{x^4}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{8a}{(x-1)^3}+\bruch{24}{x^5}
[/mm]
Wie sollte ich jetzt weiterverfahren? Durch ausprobieren a herausfinden? Und wie gehe ich mit dem zweiten Term um: Der hat bei Null doch eine Definitionslücke. Wie kann der den [mm] f'(x_{0})=0 [/mm] haben?
Helft mir bitte!!!
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Hallo TWA,
> [mm]f'(x_{0})=0, f''(x_{0})=0, f'''(x_{0})\ne0
[/mm]
Hier hast Du 2 Gleichungen aufgeschrieben. Mit deinen berechneten Ableitungen erhälst Du so ein Gleichungssystem für 2 Unbekannte [mm] x_{0} [/mm] und a . Das hat i.A. mehrere (oder keine) Lösungen. Da müsstest du dann noch schauen welche Lösung die Bedingung [mm] f'''(x_0)\ne0 [/mm] erfüllt. Ob die Funktionen (Gleichungen) für alle [mm] x_0 [/mm] definiert sind ist dabei unerheblich. Hauptsache es gibt eine Lösung.
gruß
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo TWA!
Hier noch einige kleine Korrekturen Deiner Ableitungen ...
[mm]f_a'(x)=\bruch{-a}{(x-1)^2}+\bruch{2}{x^3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]f_a''(x)=\bruch{\red{+}2*a}{(x-1)^3}-\bruch{6}{x^4}[/mm]
[mm]f_a'''(x)=\bruch{\red{-6}*a}{(x-1)^{\red{4}}}+\bruch{24}{x^5}[/mm]
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:56 Mi 16.02.2005 | | Autor: | TWA |
Danke für die korrekturen bei den Ableitungen, aber mit dem Lösungsvorschlag von mathemaduenn bin ich etwas überfordert: Ich finds nicht ganz einfach, so ein gleichungssystem zu lösen. Ist das der einzige Lösungsweg?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Loddar |
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Gibt es denn keine Angabe / Vorgabe bezüglich der Stelle [mm] $x_0$, [/mm] für die ein Sattelpunkt vorliegen soll?
Ansonsten Nullstellen von [mm] $f_a'$ [/mm] und [mm] $f_a''$ [/mm] ermitteln und anschließend (den ermittelten x-Wert) gleichsetzen ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Mi 16.02.2005 | | Autor: | TWA |
Ist es nichts weiter angegeben, leider.
Ich werde jetzt mal deinen Lösungsvorschlag ausprobieren....
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