Salzwasserkonzentration < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mi 16.10.2013 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe | In einem Becken befindet sich Salzwasser. Tagsüber wird ein Achtel des Salzwasser abgelassen, und in den Nächten wird das Becken wieder mit Süßwasser aufgefüllt
i) Erstellen Sie eine Folge der täglichen Salzwasserkonzentrationen.
ii) Nach wie vielen Tagen beträgt die Salzkonzentration nur noch ein Hundertstel der Anfangskonzentration? |
i) [mm] $(a_i-(\bruch{1}{8}*a_i))_x_\in_\IN$, $a_1=1$ [/mm]
ii) Irgendwie müsste ich ja jetzt den Wert für i finden, wenn der Wert der nurnoch 1% des ursprünglichen Wertes beträgt. Irgendwo muss da also noch ein Fehler sein. Leider komme ich nicht drauf :)
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Hallo jayw,
> In einem Becken befindet sich Salzwasser. Tagsüber wird
> ein Achtel des Salzwasser abgelassen, und in den Nächten
> wird das Becken wieder mit Süßwasser aufgefüllt
> i) Erstellen Sie eine Folge der täglichen
> Salzwasserkonzentrationen.
> ii) Nach wie vielen Tagen beträgt die Salzkonzentration
> nur noch ein Hundertstel der Anfangskonzentration?
>
> i) [mm](a_i-(\bruch{1}{8}*a_i))_x_\in_\IN[/mm], [mm]a_1=1[/mm]
Das ist eine höchst eigenartige Notation.
Außerdem stellst Du Dir mit der Indizierung selbst eine Falle. Gefragt ist ja "nach wie vielen Tagen...", da ist es besser, [mm] a_{\mathbb{0}}=1 [/mm] zu setzen.
Außerdem hast Du in Deiner Angabe offenbar folgende Rekursion andeuten wollen:
[mm] a_{i+1}=a_i-\bruch{1}{8}a_i
[/mm]
Das ist soweit richtig. Aber...
> ii) Irgendwie müsste ich ja jetzt den Wert für i finden,
> wenn der Wert der nurnoch 1% des ursprünglichen Wertes
> beträgt. Irgendwo muss da also noch ein Fehler sein.
> Leider komme ich nicht drauf :)
Außer der Notation liegt noch kein Fehler vor.
Du brauchst jetzt erst einmal eine Darstellung der Folge, die nicht rekursiv ist, so dass [mm] a_n [/mm] nur noch von [mm] a_0 [/mm] und n abhängt. Das ist hier doch sehr einfach.
Später wirst Du dann logarithmieren müssen...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Mi 16.10.2013 | | Autor: | jayw |
> Hallo jayw,
>
> > In einem Becken befindet sich Salzwasser. Tagsüber wird
> > ein Achtel des Salzwasser abgelassen, und in den
> Nächten
> > wird das Becken wieder mit Süßwasser aufgefüllt
> > i) Erstellen Sie eine Folge der täglichen
> > Salzwasserkonzentrationen.
> > ii) Nach wie vielen Tagen beträgt die
> Salzkonzentration
> > nur noch ein Hundertstel der Anfangskonzentration?
> >
> > i) [mm](a_i-(\bruch{1}{8}*a_i))_x_\in_\IN[/mm], [mm]a_1=1[/mm]
>
> Das ist eine höchst eigenartige Notation.
> Außerdem stellst Du Dir mit der Indizierung selbst eine
> Falle. Gefragt ist ja "nach wie vielen Tagen...", da ist es
> besser, [mm]a_{\mathbb{0}}=1[/mm] zu setzen.
>
Es sollte natürlich [mm] $i_\in_\IN$ [/mm] heißen. Wäre es so auch korrekt?
[mm] $(a_{i+1})_i_\in_\IN=a_i-\bruch{1}{8}a_i$
[/mm]
Was heißt [mm]a_{\mathbb{0}}=1[/mm] ?
> Außerdem hast Du in Deiner Angabe offenbar folgende
> Rekursion andeuten wollen:
>
> [mm]a_{i+1}=a_i-\bruch{1}{8}a_i[/mm]
>
> Das ist soweit richtig. Aber...
>
> > ii) Irgendwie müsste ich ja jetzt den Wert für i finden,
> > wenn der Wert der nurnoch 1% des ursprünglichen Wertes
> > beträgt. Irgendwo muss da also noch ein Fehler sein.
> > Leider komme ich nicht drauf :)
>
> Außer der Notation liegt noch kein Fehler vor.
>
> Du brauchst jetzt erst einmal eine Darstellung der Folge,
> die nicht rekursiv ist, so dass [mm]a_n[/mm] nur noch von [mm]a_0[/mm] und n
> abhängt. Das ist hier doch sehr einfach.
Okay! Ich habe mir jetzt die ersten 4 Folgenglieder mal aufgeschrieben und eigentlich kann es nur [mm] $\bruch {7}{8}^n$ [/mm] sein.
Wie schreibe ich das korrekt auf? [mm] $(a_{i+1})_i_\in_\IN=a_i-\bruch{1}{8}a_i [/mm] <=> [mm] \bruch {7}{8}^n$ [/mm] ??
> Später wirst Du dann logarithmieren müssen...
Damit habe ich die Gleichung $ 0,01 = [mm] \bruch {7}{8}^n$
[/mm]
=> [mm] $log_\bruch{7}{8}(0,01)=34,48 [/mm] => nach 35 Tagen
> Grüße
> reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mi 16.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo jayw,
> >
> > > In einem Becken befindet sich Salzwasser. Tagsüber wird
> > > ein Achtel des Salzwasser abgelassen, und in den
> > Nächten
> > > wird das Becken wieder mit Süßwasser aufgefüllt
> > > i) Erstellen Sie eine Folge der täglichen
> > > Salzwasserkonzentrationen.
> > > ii) Nach wie vielen Tagen beträgt die
> > Salzkonzentration
> > > nur noch ein Hundertstel der Anfangskonzentration?
> > >
> > > i) [mm](a_i-(\bruch{1}{8}*a_i))_x_\in_\IN[/mm], [mm]a_1=1[/mm]
> >
> > Das ist eine höchst eigenartige Notation.
> > Außerdem stellst Du Dir mit der Indizierung selbst
> eine
> > Falle. Gefragt ist ja "nach wie vielen Tagen...", da ist es
> > besser, [mm]a_{\mathbb{0}}=1[/mm] zu setzen.
> >
> Es sollte natürlich [mm]i_\in_\IN[/mm] heißen. Wäre es so auch
> korrekt?
>
> [mm](a_{i+1})_i_\in_\IN=a_i-\bruch{1}{8}a_i[/mm]
Du meinst wohl
[mm] a_{i+1}=a_i-\bruch{1}{8}a_i [/mm] für i [mm] \ge [/mm] 0
>
> Was heißt [mm]a_{\mathbb{0}}=1[/mm] ?
[mm] a_0=1
[/mm]
>
> > Außerdem hast Du in Deiner Angabe offenbar folgende
> > Rekursion andeuten wollen:
> >
> > [mm]a_{i+1}=a_i-\bruch{1}{8}a_i[/mm]
> >
> > Das ist soweit richtig. Aber...
> >
> > > ii) Irgendwie müsste ich ja jetzt den Wert für i finden,
> > > wenn der Wert der nurnoch 1% des ursprünglichen
> Wertes
> > > beträgt. Irgendwo muss da also noch ein Fehler
> sein.
> > > Leider komme ich nicht drauf :)
> >
> > Außer der Notation liegt noch kein Fehler vor.
> >
> > Du brauchst jetzt erst einmal eine Darstellung der Folge,
> > die nicht rekursiv ist, so dass [mm]a_n[/mm] nur noch von [mm]a_0[/mm] und n
> > abhängt. Das ist hier doch sehr einfach.
>
> Okay! Ich habe mir jetzt die ersten 4 Folgenglieder mal
> aufgeschrieben und eigentlich kann es nur [mm]\bruch {7}{8}^n[/mm]
> sein.
Vielleicht meinst Du das Richtige. Es ist
[mm] a_n=(\bruch {7}{8})^n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 0.
>
> Wie schreibe ich das korrekt auf?
> [mm](a_{i+1})_i_\in_\IN=a_i-\bruch{1}{8}a_i <=> \bruch {7}{8}^n[/mm]
Nein, so nicht.
Wir haben
[mm] a_0=1
[/mm]
und
[mm] a_{i+1}=a_i-\bruch{1}{8}a_i [/mm] für i [mm] \ge [/mm] 0.
Dann ist [mm] a_n=(\bruch {7}{8})^n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 0.
> ??
>
> > Später wirst Du dann logarithmieren müssen...
>
> Damit habe ich die Gleichung [mm]0,01 = \bruch {7}{8}^n[/mm]
> =>
> [mm]$log_\bruch{7}{8}(0,01)=34,48[/mm] => nach 35 Tagen
ja
FRED
>
> > Grüße
> > reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Mi 16.10.2013 | | Autor: | jayw |
[...]
> Vielleicht meinst Du das Richtige. Es ist
>
> [mm]a_n=(\bruch {7}{8})^n[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 0.
>
Ja, natürlich, danke :)
> >
> > Wie schreibe ich das korrekt auf?
> > [mm](a_{i+1})_i_\in_\IN=a_i-\bruch{1}{8}a_i <=> \bruch {7}{8}^n[/mm]
>
> Nein, so nicht.
>
> Wir haben
>
> [mm]a_0=1[/mm]
>
> und
>
> [mm]a_{i+1}=a_i-\bruch{1}{8}a_i[/mm] für i [mm]\ge[/mm] 0.
>
> Dann ist [mm]a_n=(\bruch {7}{8})^n[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 0.
>
>
> > ??
> >
> > > Später wirst Du dann logarithmieren müssen...
> >
> > Damit habe ich die Gleichung [mm]0,01 = \bruch {7}{8}^n[/mm]
> >
> =>
> > [mm]$log_\bruch{7}{8}(0,01)=34,48[/mm] => nach 35 Tagen
>
> ja
>
> FRED
> >
> > > Grüße
> > > reverend
>
Danke euch beiden!
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> > Okay! Ich habe mir jetzt die ersten 4 Folgenglieder mal
> > aufgeschrieben und eigentlich kann es nur [mm]\bruch {7}{8}^n[/mm]
> > sein.
>
> Vielleicht meinst Du das Richtige. Es ist
>
> [mm]a_n=(\bruch {7}{8})^n[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 0.
nur noch ein Tipp zur Darstellung:
bei solchen Ausdrücken mit Brüchen oder gar Doppel-
brüchen in Klammern erscheinen diese zu klein, wie
Hot Pants für jemand, der nicht wirklich dafür
geschaffen ist ...
Diesem ästhetischen Mißstand kann man abhelfen:
$\ [mm] (\bruch {7}{8})^n$ [/mm] ---> $\ [mm] \left(\bruch {7}{8}\right)^n$
[/mm]
$\ [mm] (\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}})^3$ [/mm] ---> $\ [mm] \left(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}\right)^3$
[/mm]
Beim zweiten Beispiel zeigt sich noch ein anderes
Problem: es ist nicht mehr ganz klar, welcher Bruchstrich
nun der Hauptbruchstrich ist. Durch Einfügen von Leer-
zeichen z.B. im Zähler kann man auch dies beheben:
$\ [mm] \left(\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\frac{5}{6}}\right)^3$
[/mm]
Eine weitere Möglichkeit wäre natürlich die vergrößerte
Darstellung z.B. mittels "\Large" ... aber dies würde
hier doch fast schon zu weit führen.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Mi 16.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Okay! Ich habe mir jetzt die ersten 4 Folgenglieder mal
> > > aufgeschrieben und eigentlich kann es nur [mm]\bruch {7}{8}^n[/mm]
> > > sein.
> >
> > Vielleicht meinst Du das Richtige. Es ist
> >
> > [mm]a_n=(\bruch {7}{8})^n[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 0.
>
>
> nur noch ein Tipp zur Darstellung:
>
> bei solchen Ausdrücken mit Brüchen oder gar Doppel-
> brüchen in Klammern erscheinen diese zu klein, wie
> Hot Pants für jemand, der nicht wirklich dafür
> geschaffen ist ...
Hallo Al, meinst Du das so:
http://cdn.webfail.com/upl/img/0d632827e6d/post2.jpg
?
Gruß FRED
> Diesem ästhetischen Mißstand kann man abhelfen:
>
> [mm]\ (\bruch {7}{8})^n[/mm] ---> [mm]\ \left(\bruch {7}{8}\right)^n[/mm]
>
>
> [mm]\ (\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}})^3[/mm] ---> [mm]\ \left(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}\right)^3[/mm]
>
> Beim zweiten Beispiel zeigt sich noch ein anderes
> Problem: es ist nicht mehr ganz klar, welcher Bruchstrich
> nun der Hauptbruchstrich ist. Durch Einfügen von Leer-
> zeichen z.B. im Zähler kann man auch dies beheben:
>
> [mm]\ \left(\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\frac{5}{6}}\right)^3[/mm]
>
> Eine weitere Möglichkeit wäre natürlich die
> vergrößerte
> Darstellung z.B. mittels [mm]"[code]\Large[/code]"[/mm] ... aber
> dies würde
> hier doch fast schon zu weit führen.
>
> LG , Al-Chw.
>
>
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Hi Fred,
ich dachte, die Leute hier hätten genügend eigene
Vorstellungskraft und habe darum auf die Angabe
eines Bildes verzichtet ...
Gruß , Al
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