Salzkonzentration < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Tank enthält 200 l Wasser. In diesem sind S0 kg Salz gelöst. In den Tank fließt vom Zeitpunkt t = 0 an, Salzwasser der Konzentration
t * e^-1/50t [kg/l] mit einer Rate von 4 l/min. Aus dem gut
durchmischten Tank fließt pro Minute 4 l Salzwasser.
Bestimmen Sie die Menge S(t) des Salzes im Tank zur Zeit t .
Untersuchen Sie das Langzeitverhalten. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Im Gegenteil: ich habe sie schon in anderen Foren gesucht und gefunden (aber niemals mit Lösung...) :/
Bin mittlerweile wenigstens so weit, dass ich weiß, dass hier eine DGL aufzustellen ist, aber WIE? Rechnen kann ich's wenn ich die erstmal hab vielleicht alleine (außer den Zusatz mit dem Langzeitverhalten?).
Ich bin ratlos...
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Hallo!
Du mußt die Menge des Salzes S(t) betrachten.
Jetzt fließt Wasser aus dem Tank heraus. Und zwar 4l/min. Darin enthalten ist die Salzmenge von [mm] $4*\frac{S(t)}{200}$ [/mm] (hier steckt schon drin, daß die Wassermenge konstant bleiben wird)
Gleichzeitig fließt neues Salz herein, und zwar [mm] $4*t*e^{-\frac{t}{50}}$
[/mm]
Damit weißt du jetzt , wie sich die Salzmenge ändert. Ein Teil fließt heraus, ein anderer kommt dazu:
[mm] $\dot S(t)=-4*\frac{S(t)}{200}+4*t*e^{-\frac{t}{50}}$ [/mm] Das ist deine DGL.
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Danke für die schnelle Hilfe!
OK, habe das mal versucht auszurechnen, aber VORSICHT (ich bin da noch nicht so geübt!). Umso dankbarer wäre ich, wenn jemand nochmal drüberschaut und mir sagt, was ich falsch bzw. richtig gemacht habe:
Ich glaube, ich habe die Variabeln M und t "getrennt" und dann integriert:
S(t) = [mm] -\bruch{1}{50}S0+e^{-t/50}(200-200t)
[/mm]
Und was bedeutet das jetzt mit dem Langzeitverhalten?
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Hi, antifairy,
> Ich glaube, ich habe die Variabeln M und t "getrennt" und
> dann integriert:
> S(t) = [mm]-\bruch{1}{50}S0+e^{-t/50}(200-200t)[/mm]
Hast Du die homogene DGL mit Variablentrennung gelöst und anschließend für die inhomogene DGL Variation der Konstanten durchgeführt?
Ich krieg jedenfalls was Anderes raus, nämlich:
S(t) = [mm] (2t^{2} [/mm] + [mm] S_{0})*e^{-0,02*t}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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Hmmm... irgendwie raff ich's immer noch nicht...
Muss ich überhaupt nach Variablen trennen (ihr seht: blutiger Anfänger!)?
Für die homogene Lösung hab ich jetzt raus:
[mm] S_{H}(t) [/mm] = [mm] C_{H} [/mm] * [mm] e^{-0,02t}
[/mm]
Stimmt das schonmal?
Und was bedeutet die Konstanten variieren?
Irgendwie hänge ich bei der speziellen Lösung bei:
[mm] S_{S}(t) [/mm] = [mm] C_{S}t [/mm] * [mm] e^{-0,02t}
[/mm]
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Hi, antifairy,
> Muss ich überhaupt nach Variablen trennen (ihr seht:
> blutiger Anfänger!)?
Nein, geht auch ohne!
> Für die homogene Lösung hab ich jetzt raus:
>
> [mm]S_{H}(t)[/mm] = [mm]C_{H}[/mm] * [mm]e^{-0,02t}[/mm]
>
> Stimmt das schonmal?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und was bedeutet die Konstanten variieren?
> Irgendwie hänge ich bei der speziellen Lösung bei:
>
> [mm]S_{S}(t)[/mm] = [mm]C_{S}t[/mm] * [mm]e^{-0,02t}[/mm]
Genau diesen Ansatz nennt man "Variation der Konstanten":
S(t) = [mm] c(t)*e^{-0,02*t} [/mm]
Das musst Du nun ableiten (Produktregel!)
und in die Ausgangsgleichung einsetzen.
Dann kannst Du schließlich nach c'(t) auflösen und daraus c(t) berechnen.
(Zur Kontrolle: c(t) = [mm] 2t^{2}.)
[/mm]
Die Gesamtlösung ist dann die Summe der speziellen und der homogenen.
Dann musst Du noch die Anfangsbedingung einsetzen und kriegst: c = [mm] S_{0}.
[/mm]
Das wär's zunächst!
mfG!
Zwerglein
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Sorry, dass ich anscheinend so schwer von Begriff bin (aber wir nähern uns ja so langsam der Lösung), aber nun hänge ich bei
[mm] S_{S}'(t) [/mm] = c'(t) * [mm] e^{-0,02t} [/mm] + c(t) * (-0,02) * [mm] e^{-0,0,2t}
[/mm]
denn wenn ich das in die Ausgangsgleichung einsetze, erhalte ich:
c'(t)* [mm] e^{-0,02t} [/mm] + c(t) * (-0,02) * [mm] e^{-0,0,2t} [/mm] = 4t * [mm] e^{-0,02t} [/mm] - 0,02 S(t)
und wenn ich das nach c'(t) auflöse, hängt das ganze immer noch von S(t) und von c(t) ab. wie soll ich dann daraus c(t) bestimmen?
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Hi, antifairy,
> [mm]S_{S}'(t)[/mm] = c'(t) * [mm]e^{-0,02t}[/mm] + c(t) * (-0,02) *
> [mm]e^{-0,0,2t}[/mm]
> denn wenn ich das in die Ausgangsgleichung einsetze,
> erhalte ich:
>
> c'(t)* [mm]e^{-0,02t}[/mm] + c(t) * (-0,02) * [mm]e^{-0,0,2t}[/mm] = 4t *
> [mm]e^{-0,02t}[/mm] - 0,02 S(t)
>
> und wenn ich das nach c'(t) auflöse, hängt das ganze immer
> noch von S(t) und von c(t) ab. wie soll ich dann daraus
> c(t) bestimmen?
Naja: S(t) = [mm] c(t)*e^{-0,02t} [/mm] aus dem Ansatz musst Du natürlich auch einsetzen!!!
Und dann fällt's auf beiden Seiten weg!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Do 22.02.2007 | | Autor: | antifairy |
GEIL, GEIL, GEIL!
Endlich keine Fragen mehr (zunächst mal ;) )
Jetzt werde ich das noch 100mal nachrechnen und hoffen, dass ich in Zukunft Aufgaben von ähnlicher Gestalt selber lösen kann.
Dennoch werde ich euch in den kommenden zwei Wochen noch mit vielen anderen Fragen behelligen.
Bis hierher erstmal: DANKE, DANKE, DANKE!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Do 22.02.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, antifairy,
> Ein Tank enthält 200 l Wasser. In diesem sind S0 kg Salz
> gelöst. In den Tank fließt vom Zeitpunkt t = 0 an,
> Salzwasser der Konzentration
> t * e^-1/50t [kg/l] mit einer Rate von 4 l/min. Aus dem
> gut
> durchmischten Tank fließt pro Minute 4 l Salzwasser.
> Bestimmen Sie die Menge S(t) des Salzes im Tank zur Zeit t
> .
> Untersuchen Sie das Langzeitverhalten.
Heißt das da oben [mm] S_{0} [/mm] oder 50 (in Worten: fünfzig) kg Salz?
Ach ja: "Langzeitverhalten" meint den Grenzwert für t [mm] \to \infty.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Do 22.02.2007 | | Autor: | antifairy |
Hallo Zwerglein,
es heißt [mm] S_{0}, [/mm] also in Worten "Es null" ;)
an das Langzeitverhalten mach ich mich gleich mal ran. Ist die "Lösung" denn so weit richtig?
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Naja, das Langzeitverhalten ist eigentlich ziemlich witzlos, das kann sich auch jemand ohne Ahnung von DGLs denken.
Das zugeführte Salz wird immer weniger, irgendwann kommt quasi nichts mehr dazu. Das heißt, mit der Zeit geht auch der Salzgehalt gegen 0.
Wenn du dir jetzt deine Lösung anschaust, siehst du, daß dort immer ein konstanter Bruchteil drin ist. der EXP-Teil verschwindet irgendwann. Das hieße ja, daß die Konzentration irgendwann konstant bliebe. Das widerspricht aber schon der Erwartung.
Die Lösung von Zwergilein tut dies nicht.
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