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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:Ist f:X-->Y eine Abbildung, [mm] A_{1},A_{2} \subset [/mm] X, [mm] B_{1},B_{2} \subset [/mm] Y, so gilt:
a) [mm] f^{-1}(B_{1} \cap B_{2})=f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2})
[/mm]
b) [mm] f^{-1}(B_{1} [/mm] - [mm] B_{2})=f^{-1}(B_{1}) [/mm] - [mm] f^{-1}(B_{2}) [/mm] |
Guten Abend^^
Ich habe einige Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe und hoffe mir kann jemand helfen.
Zunächst, mit [mm] f^{-1} [/mm] ist doch die Umkehrabbildung gemeint oder?
Also wäre [mm] f^{-1}:Y-->X.
[/mm]
So,ich hab jetzt zwar einen Ansatz,aber komme nicht sehr weit.
Die Idee ist,dass ich zeige,dass wenn a ein Element aus [mm] f^{-1}(B_{1} \cap B_{2}) [/mm] ist, auch ein Element aus [mm] f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}) [/mm] ist.
Dann fange ich so an:
a [mm] \in f^{-1}(B_{1} \cap B_{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in f^{-1}(B_{1}) [/mm] und a [mm] \in f^{-1}(B_{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in f^{-1}(B_{1}) \cap [/mm] a [mm] \in f^{-1}(B_{2})
[/mm]
Aber irgendwie scheint mir das nicht richtig zu sein,kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Mo 01.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:Ist f:X-->Y eine Abbildung, [mm]A_{1},A_{2} \subset[/mm]
> X, [mm]B_{1},B_{2} \subset[/mm] Y, so gilt:
>
> a) [mm]f^{-1}(B_{1} \cap B_{2})=f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2})[/mm]
>
> b) [mm]f^{-1}(B_{1}[/mm] - [mm]B_{2})=f^{-1}(B_{1})[/mm] - [mm]f^{-1}(B_{2})[/mm]
> Guten Abend^^
>
> Ich habe einige Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe und
> hoffe mir kann jemand helfen.
> Zunächst, mit [mm]f^{-1}[/mm] ist doch die Umkehrabbildung
> gemeint oder?
Nein ! Für B [mm] \subset [/mm] Y ist
[mm] $f^{-1}(B):= \{x \in X: f(x) \in B \}$
[/mm]
> Also wäre [mm]f^{-1}:Y-->X.[/mm]
> So,ich hab jetzt zwar einen Ansatz,aber komme nicht sehr
> weit.
> Die Idee ist,dass ich zeige,dass wenn a ein Element aus
> [mm]f^{-1}(B_{1} \cap B_{2})[/mm] ist, auch ein Element aus
> [mm]f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2})[/mm] ist.
> Dann fange ich so an:
> a [mm]\in f^{-1}(B_{1} \cap B_{2})[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in f^{-1}(B_{1})[/mm]
> und a [mm]\in f^{-1}(B_{2})[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in f^{-1}(B_{1}) \cap[/mm]
> a [mm]\in f^{-1}(B_{2})[/mm]
>
> Aber irgendwie scheint mir das nicht richtig zu sein,kann
> mir jemand weiterhelfen?
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ich habe einige Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe und
> > hoffe mir kann jemand helfen.
> > Zunächst, mit [mm]f^{-1}[/mm] ist doch die Umkehrabbildung
> > gemeint oder?
>
>
> Nein ! Für B [mm]\subset[/mm] Y ist
>
> [mm]f^{-1}(B):= \{x \in X: f(x) \in B \}[/mm]
>
Ok,ich hab mal versucht die a) zu beweisen:
[mm] f^{-1}(B_{1}):= \{x \in X: f(x) \in B_{1} \}
[/mm]
[mm] f^{-1}(B_{2}):= \{x \in X: f(x) \in B_{2} \}
[/mm]
[mm] f^{-1}(B_{1} \cap B_{2}):= \{x \in X: f(x) \in B_{1} \cap B_{2} \}
[/mm]
Beweis:
[mm] f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2})=\{x \in X: f(x) \in B_{1} \} \cap \{x \in X: f(x) \in B_{2} \}=\{x \in X: f(x) \in B_{1} und B_{2} \}=\{x \in X: f(x) \in B_{1} \cap B_{2} \}.
[/mm]
Ist es damit bewiesen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mo 01.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Ich habe einige Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe und
> > > hoffe mir kann jemand helfen.
> > > Zunächst, mit [mm]f^{-1}[/mm] ist doch die Umkehrabbildung
> > > gemeint oder?
> >
> >
> > Nein ! Für B [mm]\subset[/mm] Y ist
> >
> > [mm]f^{-1}(B):= \{x \in X: f(x) \in B \}[/mm]
> >
> Ok,ich hab mal versucht die a) zu beweisen:
>
> [mm]f^{-1}(B_{1}):= \{x \in X: f(x) \in B_{1} \}[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(B_{2}):= \{x \in X: f(x) \in B_{2} \}[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(B_{1} \cap B_{2}):= \{x \in X: f(x) \in B_{1} \cap B_{2} \}[/mm]
>
> Beweis:
> [mm]f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2})=\{x \in X: f(x) \in B_{1} \} \cap \{x \in X: f(x) \in B_{2} \}=\{x \in X: f(x) \in B_{1} und B_{2} \}=\{x \in X: f(x) \in B_{1} \cap B_{2} \}.[/mm]
Die Aussage "$f(x) [mm] \in B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$" [/mm] macht keinen Sinn, du meinst "$f(x) [mm] \in B_1$ [/mm] und $f(x) [mm] \in B_2$". [/mm] Sonst ist es aber ok :)
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | b) [mm] f^{-1}(B_{1}-B_{2})=f^{-1}(B_{1})-f^{-1}(B_{2}) [/mm] |
Ok,dann hab ich mal versucht die b) zu beweisen:
[mm] f^{-1}(B_{1}-B_{2})=\{x \in X:f(x) \in B_{1} \wedge x \in X:f(x) \not\in B_{2}\}=\{x \in X:f(x) \in B_{1}\} \wedge \{x \in X:f(x) \not\in B_{2}\}=\{x \in X:f(x) \in B_{1}\}-\{x \in X:f(x) \not\in B_{2}\}= f^{-1}(B_{1})- f^{-1}(B_{2}).
[/mm]
Ist das in Ordnung so?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> b) [mm]f^{-1}(B_{1}-B_{2})=f^{-1}(B_{1})-f^{-1}(B_{2})[/mm]
> Ok,dann hab ich mal versucht die b) zu beweisen:
>
> [mm]f^{-1}(B_{1}-B_{2})=\{x \in X:f(x) \in B_{1} \wedge x \in X:f(x) \not\in B_{2}\}=\{x \in X:f(x) \in B_{1}\} \wedge \{x \in X:f(x) \not\in B_{2}\}=\{x \in X:f(x) \in B_{1}\}-\{x \in X:f(x) \not\in B_{2}\}= f^{-1}(B_{1})- f^{-1}(B_{2}).[/mm]
>
> Ist das in Ordnung so?
Nicht ganz. Vor dem letzten "=" muß es lauten:
[mm] \{x \in X:f(x) \in B_{1}\}-\{x \in X:f(x) \in B_{2}\}
[/mm]
FRED
>
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Do 04.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > b) [mm]f^{-1}(B_{1}-B_{2})=f^{-1}(B_{1})-f^{-1}(B_{2})[/mm]
> > Ok,dann hab ich mal versucht die b) zu beweisen:
> >
> > [mm]f^{-1}(B_{1}-B_{2})=\{x \in X:f(x) \in B_{1} \wedge x \in X:f(x) \not\in B_{2}\}=\{x \in X:f(x) \in B_{1}\} \wedge \{x \in X:f(x) \not\in B_{2}\}=\{x \in X:f(x) \in B_{1}\}-\{x \in X:f(x) \not\in B_{2}\}= f^{-1}(B_{1})- f^{-1}(B_{2}).[/mm]
>
> >
> > Ist das in Ordnung so?
>
> Nicht ganz. Vor dem letzten "=" muß es lauten:
>
> [mm]\{x \in X:f(x) \in B_{1}\}-\{x \in X:f(x) \in B_{2}\}[/mm]
>
Ja so hatte ich das auch,habs falsch abgetippt.
Vielen Dank nochmal =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 04.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Achso ein Frage hab ich noch.In der Aufgabenstellung steht,dass [mm] A_{1},A_{2} \subset [/mm] X sind.
Aber diese "Tatsache" habe ich gar nicht für die Lösung der Aufgabe gebraucht.Wieso steht sie dann da?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Do 04.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die A sind nicht nötig, aber wenn du [mm] f(A_i)=B_i [/mm] schreibst, und [mm] a_I\in A_i [/mm] vereinfachen sich einige der Aussagen etwas.
Aber deine Beweise sind so auch sehr schön und richtig.
gruss leduart
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