SU(n) und SO(2n) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:23 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Anlex |
| Aufgabe | Das Skalarprodukt
$(w [mm] \cdot [/mm] z)$ = [mm] \sum_{j=1}^{n} w_j^\*z_j
[/mm]
ist invariant unter einer unitären Transformation $U(n)$. Zeigen Sie, dass die $SU(n)$ Transformationen, welche den Realteil von [mm] \\$(w \cdot [/mm] z)$ invariant lassen, als Transformationen der $SO(2n)$ aufgefasst werden können. |
Hallo allerseits!
Ich weiß nicht so recht, wie ich diese Aufgabe angehen soll. Zunächst mal überlege ich mir, dass jede $SU(n)$ Transformation durch eine unitäre $n [mm] \times [/mm] n$ Matrix (mit Determinante 1) repräsentiert werden kann. Auf der anderen Seite kann eine $SO(2n)$ Transformation durch eine orthogonale $2n [mm] \times [/mm] 2n$ Matrix (ebenfalls mit Determinante 1) repräsentiert werden.
Ich nehme an, dass ich irgendwie einen Zusammenhang zwischen jenen beiden Matrixrepräsentationen, am Beispiel des Skalarprodukts, herstellen muss.
Ich schreibe mir erstmal die komplexen Vektoren $w$ und $z$ in Komponenten hin:
[mm] $w_j [/mm] = [mm] a_j [/mm] + i [mm] b_j$
[/mm]
[mm] $z_j [/mm] = [mm] c_j [/mm] + i [mm] d_j$
[/mm]
mit reellen Koeffizienten $a, b, c, d$.
Das Skalarprodukt ist dann
$(w [mm] \cdot [/mm] z) = [mm] w^\dagger [/mm] z = [mm] \sum_{j=1}^{n} (a_j [/mm] - i [mm] b_j)(c_j [/mm] + i [mm] d_j) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{n} (a_j c_j [/mm] + [mm] b_j d_j) [/mm] + i [mm] \sum_{j=1}^{n} (a_j d_j [/mm] - [mm] b_j c_j)$
[/mm]
Der Realteil des Skalarprodukts ist offensichtlich
$Re(w [mm] \cdot [/mm] z) = [mm] \sum_{j=1}^{n} (a_j c_j [/mm] + [mm] b_j d_j)$
[/mm]
Als nächstes soll die unitäre Transformation ins Spiel kommen, repräsentiert durch die unitäre Matrix [mm] $\hat{U}$ [/mm] mit den komplexen Elementen
[mm] $u_{jk} [/mm] = [mm] x_{jk} [/mm] + i [mm] y_{jk}$
[/mm]
Das liefert die folgenden transformierten Vektoren
$w' = [mm] \hat{U} [/mm] w$ bzw. [mm] $w'^\dagger [/mm] = [mm] (\hat{U} w)^\dagger [/mm] = [mm] w^\dagger \hat{U}^\dagger$
[/mm]
$z' = [mm] \hat{U} [/mm] z$
Die transformierten Vektoren in Komponenten:
[mm] $w'_j^\* [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n} (x_{jk} [/mm] - i [mm] y_{jk})(a_k [/mm] - i [mm] b_k)$
[/mm]
$z'_j = [mm] \sum_{l=1}^{n} (x_{jl} [/mm] + i [mm] y_{jl})(c_l [/mm] + i [mm] d_l)$
[/mm]
Im Folgenden unterdrücke ich der Übersicht halber die Summenzeichen, es ist dann über doppelte Indizes zu summieren.
Das Skalarprodukt der transformierten Vektoren:
[mm] $w'_j^\* [/mm] z'_j = [mm] [(x_{jk} [/mm] - i [mm] y_{jk})(a_k [/mm] - i [mm] b_k)][(x_{jl} [/mm] + i [mm] y_{jl})(c_l [/mm] + i [mm] d_l)] [/mm] = [mm] [(x_{jk}a_k-y_{jk}b_k)-i(x_{jk}_b_k+y_{jk}a_k)][(x_{jl}c_l-y_{jl}d_l)+i(x_{jl}d_l+y_{jl}c_l)]$
[/mm]
[mm] $w'_j^\* [/mm] z'_j = [mm] [(x_{jk}a_k-y_{jk}b_k)(x_{jl}c_l-y_{jl}d_l)+(x_{jk} b_k+y_{jk}a_k)(x_{jl}d_l+y_{jl}c_l)] [/mm] + i [mm] [(x_{jk}a_k-y_{jk}b_k)(x_{jl}d_l+y_{jl}c_l)-(x_{jk} b_k+y_{jk}a_k)(x_{jl}c_l-y_{jl}d_l)]$
[/mm]
Und jetzt bin ich mit meinem Latein am Ende. Ich bin mir gar nicht sicher, ob das überhaupt der richtige Weg ist und ich befürchte, dass ich irgendwo einen Fehler gemacht habe.
Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann, danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:27 Sa 08.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Das Skalarprodukt
>
> [mm](w \cdot z)[/mm] = [mm]\sum_{j=1}^{n} w_j^\*z_j[/mm]
>
> ist invariant unter einer unitären Transformation [mm]U(n)[/mm].
> Zeigen Sie, dass die [mm]SU(n)[/mm] Transformationen, welche den
> Realteil von [mm]\\[/mm] [mm](w \cdot z)[/mm] invariant lassen, als
> Transformationen der [mm]SO(2n)[/mm] aufgefasst werden können.
Ehrlich gesagt finde ich diese Aufgabenstellung sehr, sehr verwirrend.
Erst ist die Rede vom Skalarprodukt, das unter einer unitaeren Transformationen invariant ist? Zum Beispiel unter der Identitaet? Was soll das genau sagen? Oder ist gemeint, dass es unter allen unitaeren Transformationen invariant ist?
Wenn letzteres der Fall ist, dann ist es doch insb. unter jeder Transformation in $SU(n)$ invariant? Warum soll man sich dann darunter diejenigen herauspicken, die nur den Realteil invariant lassen -- das sind doch dann eh alle?
Allgemein zum Thema:
eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix mit Eintraegen in [mm] $\IC$ [/mm] induziert eine [mm] $\IC$-lineare [/mm] Transformation des [mm] $\IC^n$. [/mm] Jetzt ist [mm] $\IC^n$ [/mm] ein $2 n$-dimensionaler [mm] $\IR$-Vektorraum, [/mm] und wenn [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] eine [mm] $\IC$-Basis [/mm] von [mm] $\IC^n$ [/mm] ist, dann ist [mm] $(v_1, [/mm] i [mm] v_1, v_2, [/mm] i [mm] v_2, \dots, v_n, [/mm] i [mm] v_n)$ [/mm] eine [mm] $\IR$-Basis [/mm] des [mm] $\IC^n$.
[/mm]
Du kannst also jede $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix mit Eintraegen in [mm] $\IC$ [/mm] auf kanonische Art und Weise als $2 n [mm] \times [/mm] 2 n$-Matrix mit Eintraegen in [mm] $\IR$ [/mm] auffassen. Wie man von der einen Darstellung auf die andere kommt rechnet man am einfachsten mit einer $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix nach und verallgemeinert danach: aus der Matrix $(a + i b)$ wird die Matrix [mm] $\pmat{ a & b \\ -b & a }$.
[/mm]
Dies liefert einen [mm] $\IR$-Vektorraumhomomorphismus $\Phi [/mm] : [mm] \IC^{n \times n} \to \IR^{2n \times 2n}$, [/mm] der u.a. mit der Matrizenmultiplikation vertraeglich ist. Als naechstes kann man zeigen, dass [mm] $\det \Phi(A) [/mm] = [mm] |\det A|^2$ [/mm] ist (wenn mich nicht alles taeuscht).
Ich vermute mal, damit kommst du weiter.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Anlex |
Erstmal vielen Dank für den Hinweis!
Ich weiß ehrlich gesagt auch nicht genau, warum die Bemerkung mit dem Realteil in der Aufgabenstellung steht. Man kann ja zeigen, dass unter unitären Transformationen Skalarprodukte generell invariant sind, also sollte auch jeweils der Realteil invariant sein. Ich nehme an, dass das die Aufgabe "vereinfachen" soll und einem sagen soll, dass man nur den Realteil betrachten soll, obwohl man das auch durch einen direkten Hinweis hätte erreichen können..
Jedenfalls tue ich mich etwas schwer beim Verstehen der gegebenen Informationen. Ich verstehe nicht so recht, wie ich aus meinen [mm] $\IC$-Vektoren $\IR$-Vektoren [/mm] machen kann. Ich brauche doch, um die gleiche Transformation mit einer $2n [mm] \times [/mm] 2n$ Matrix darzustellen, auch $2n$-dimensionale Vektoren, oder?
Ich habe mal versucht, entsprechend deiner Angaben meine Matrix [mm] $\hat{U}$ [/mm] umzuwandeln. Meine Matrixelemente sehen ja zunächst so aus:
[mm] $u_{ji} [/mm] = [mm] x_{ji} [/mm] + i [mm] y_{ji}$
[/mm]
daraus habe ich folgendes geschustert:
[mm] $\hat{O} [/mm] = [mm] \pmat{ x_{ji} & y_{ji} \\ -y_{ji} & x_{ji} }$
[/mm]
Dann habe ich außerdem erkannt, dass ich den Realteil von $(w [mm] \cdot [/mm] z)$ folgendermaßen schreiben kann:
$Re(w [mm] \cdot [/mm] z) = [mm] a_i c_i [/mm] + [mm] b_i d_i [/mm] = [mm] \vektor{\pm a_i \\ \pm b_i}^T \vektor{\pm c_i \\ \pm d_i}$
[/mm]
Hier gilt wieder, dass über doppelte Indizes summiert wird und im letzten Ausdruck müssen die Vorzeichen passend gewählt werden.
Die Vektoren im letzten Ausdruck sind schonmal $2n$-dimensional, passend zur Matrix [mm] $\hat{O}$.
[/mm]
Ich habe nun diese Vektoren genommen, und jeweils oben das positive und unten das negative Vorzeichen gewählt. Das Skalarprodukt dieser Vektoren, jeweils zuvor mit [mm] $\hat{O}$ [/mm] transformiert sieht dann so aus:
[mm] $\left(\hat{O}\vektor{a \\ -b}\right)^T\hat{O}\vektor{c \\ -d} [/mm] = [mm] \vektor{x_{jk}a_k - y_{jk}b_k \\ -y_{jk}a_k - x_{jk}b_k}^T\vektor{x_{jl}c_l - y_{jl}d_l \\ -y_{jl}c_l - x_{jl}d_l} [/mm] = [mm] (x_{jk}a_k-y_{jk}b_k)(x_{jl}c_l-y_{jl}d_l)+(x_{jk}b_k+y_{jk}a_k)(x_{jl}d_l+y_{jl}c_l)$
[/mm]
Das ist gerade der Realteil des von mir im ersten Post vorgerechneten Skalarprodukts der mit [mm] $\hat{U}$ [/mm] transformierten Vektoren $w$ und $z$.
Ist das jetzt Zufall, oder geht das schon in die richtige Richtung?
Dann müsste ich wohl noch zeigen, dass [mm] $\hat{O}$ [/mm] tatsächlich orthogonal ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Sa 08.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich weiß ehrlich gesagt auch nicht genau, warum die
> Bemerkung mit dem Realteil in der Aufgabenstellung steht.
> Man kann ja zeigen, dass unter unitären Transformationen
> Skalarprodukte generell invariant sind, also sollte auch
> jeweils der Realteil invariant sein. Ich nehme an, dass das
> die Aufgabe "vereinfachen" soll und einem sagen soll, dass
> man nur den Realteil betrachten soll, obwohl man das auch
> durch einen direkten Hinweis hätte erreichen können..
Das kann gut sein... Ich finde es trotzdem verwirrend 
> Jedenfalls tue ich mich etwas schwer beim Verstehen der
> gegebenen Informationen. Ich verstehe nicht so recht, wie
> ich aus meinen [mm]\IC[/mm]-Vektoren [mm]\IR[/mm]-Vektoren machen kann. Ich
> brauche doch, um die gleiche Transformation mit einer [mm]2n \times 2n[/mm]
> Matrix darzustellen, auch [mm]2n[/mm]-dimensionale Vektoren, oder?
Wenn du z.B. den Vektor $v := [mm] \pmat{ a + i b \\ c +i d } \in \IC^2$ [/mm] hast, kannst du aus dem den Vektor $w := [mm] \pmat{ a \\ b \\ c \\ d } \in \IR^4$ [/mm] machen.
Wenn [mm] $e_1, e_2$ [/mm] die kanonische Basis des [mm] $\IC^2$ [/mm] ist, dann ist $v$ der Koordinatenvektor von $v$ bzgl. dieser Basis mit Koeffizienten in [mm] $\IC$, [/mm] waehrend $w$ der Koordinatenvektor von $v$ bzgl. der Basis [mm] $(e_1, [/mm] i [mm] e_1, e_2, [/mm] i [mm] e_2)$ [/mm] mit Koeffizienten in [mm] $\IR$ [/mm] ist.
> Ich habe mal versucht, entsprechend deiner Angaben meine
> Matrix [mm]\hat{U}[/mm] umzuwandeln. Meine Matrixelemente sehen ja
> zunächst so aus:
>
> [mm]u_{ji} = x_{ji} + i y_{ji}[/mm]
>
> daraus habe ich folgendes geschustert:
>
> [mm]\hat{O} = \pmat{ x_{ji} & y_{ji} \\ -y_{ji} & x_{ji} }[/mm]
Wie genau ist das fuer eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix mit $n > 1$ zu verstehen? Mach das doch mal konkret fuer die $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix $O = [mm] \pmat{ a + i b & c + i d \\ e + i f & g + i h } \in \IC^{2 \times 2}$ [/mm] vor. Diese wirkt auf einen Vektor $v = [mm] \pmat{ x + i y \\ z + i w } \in \IC^2$.
[/mm]
Ist [mm] $\Psi [/mm] : [mm] \IC^{2 \times 2} \to \IR^{4 \times 4}$ [/mm] deine Zuordnung und [mm] $\Phi [/mm] : [mm] \IC^2 \to \IR^4$ [/mm] meine obige Zuordnung fuer Vektoren, so sollte [mm] $\Phi(O [/mm] v) = [mm] \Psi(O) \Phi(v)$ [/mm] gelten.
> Dann habe ich außerdem erkannt, dass ich den Realteil von
> [mm](w \cdot z)[/mm] folgendermaßen schreiben kann:
>
> [mm]Re(w \cdot z) = a_i c_i + b_i d_i = \vektor{\pm a_i \\ \pm b_i}^T \vektor{\pm c_i \\ \pm d_i}[/mm]
>
> Hier gilt wieder, dass über doppelte Indizes summiert wird
> und im letzten Ausdruck müssen die Vorzeichen passend
> gewählt werden.
Nimm doch alle Vorzeichen als Plus. Dann ist alles schoen funktoriell/kanonisch
Zeige nun: mit der Abbildung [mm] $\Phi$ [/mm] oben (ob nun fuer [mm] $\IC^2 \to \IR^4$ [/mm] oder fuer [mm] $\IC^n \to \IR^{2 n}$ [/mm] bleibt dir ueberlassen) gilt [mm] $(\Phi(v), \Phi(w)) [/mm] = [mm] \Re [/mm] (v, w)$.
Damit bekommst du: erhaelt $O [mm] \in \IC^{2 \times 2}$ [/mm] das Skalarprodukt von [mm] $\IC^2$, [/mm] so erhaelt [mm] $\Psi(O) \in \IR^{4 \times 4}$ [/mm] das Skalarprodukt von [mm] $\IR^4$. [/mm] (Beachte dazu, dass [mm] $\Phi$ [/mm] ein [mm] $\IR$-Isomorphismus [/mm] ist! [mm] $\Psi$ [/mm] dagegen ist injektiv, aber nicht surjektiv!)
> Die Vektoren im letzten Ausdruck sind schonmal
> [mm]2n[/mm]-dimensional, passend zur Matrix [mm]\hat{O}[/mm].
>
> Ich habe nun diese Vektoren genommen, und jeweils oben das
> positive und unten das negative Vorzeichen gewählt. Das
> Skalarprodukt dieser Vektoren, jeweils zuvor mit [mm]\hat{O}[/mm]
> transformiert sieht dann so aus:
>
> [mm]\left(\hat{O}\vektor{a \\ -b}\right)^T\hat{O}\vektor{c \\ -d} = \vektor{x_{jk}a_k - y_{jk}b_k \\ -y_{jk}a_k - x_{jk}b_k}^T\vektor{x_{jl}c_l - y_{jl}d_l \\ -y_{jl}c_l - x_{jl}d_l} = (x_{jk}a_k-y_{jk}b_k)(x_{jl}c_l-y_{jl}d_l)+(x_{jk}b_k+y_{jk}a_k)(x_{jl}d_l+y_{jl}c_l)[/mm]
Wo kommen die ganzen Minus-Zeichen her? Also grad die ganz am Anfang? Und was soll [mm] $a_k$ [/mm] z.B. sein?
> Das ist gerade der Realteil des von mir im ersten Post
> vorgerechneten Skalarprodukts der mit [mm]\hat{U}[/mm]
> transformierten Vektoren [mm]w[/mm] und [mm]z[/mm].
>
> Ist das jetzt Zufall, oder geht das schon in die richtige
> Richtung?
Ich weiss nicht ganz was du da rechnest, aber ich vermute, es geht in die richtige Richtung.
> Dann müsste ich wohl noch zeigen, dass [mm]\hat{O}[/mm]
> tatsächlich orthogonal ist.
Beachte: [mm] $\hat{O}$ [/mm] orthogonal [mm] $\Leftrightarrow$ $\hat{O}$ [/mm] erhaelt das Skalarprodukt auf [mm] $\IR^{2 n}$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Di 11.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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