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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = -1+2e^-0,5x. Ihr Graph sei K.
Zeigen Sie, dass die Gerade h mit der Gleichung y = -x+1 den Graphen K im Schnittpunkt mit der y-Achse berührt. |
Meine Frage lautet nun, wie kann ich den Berührpunkt mit gleichsetzen berechnen --> f(x)=y
Ich bin so weit gekommen: -1+2e^-0,5x=-x+1
2e^-0,5x=-x+2
so jetzt würde ich den logharitmus anwenden, bloß dann komm ich nicht mehr weiter.
ln(2)+ln(e^-0,5x)=ln(-x+2)
was mache ich jetzt mit dem x??
Ich weiß, dass beide durch den P(0/1) gehen durch beweisen mit Ableitung, aber das mit dem gleichsetzen macht mir hier gerade Probleme.
Danke im Voraus
MfG
Onlineghost
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Onlineghost,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = -1+2e^-0,5x. Ihr
> Graph sei K.
> Zeigen Sie, dass die Gerade h mit der Gleichung y = -x+1
> den Graphen K im Schnittpunkt mit der y-Achse berührt.
> Meine Frage lautet nun, wie kann ich den Berührpunkt mit
> gleichsetzen berechnen --> f(x)=y
>
> Ich bin so weit gekommen: -1+2e^-0,5x=-x+1
> 2e^-0,5x=-x+2
>
> so jetzt würde ich den logharitmus anwenden, bloß dann
> komm ich nicht mehr weiter.
>
> ln(2)+ln(e^-0,5x)=ln(-x+2)
>
> was mache ich jetzt mit dem x??
> Ich weiß, dass beide durch den P(0/1) gehen durch
> beweisen mit Ableitung, aber das mit dem gleichsetzen macht
> mir hier gerade Probleme.
>
Für den Berührpunkt muss auch gelten:
[mm]\left(-1+2e^{-0,5x}\right)'=\left(-x+1}\right)'[/mm]
Daraus erhältst Du das "x".
> Danke im Voraus
>
> MfG
> Onlineghost
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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Ja, das stimmt, das ist ja die Ableitung davon d.h. die Steigung muss gleich sein, mich interessiert aber wie ich dass ohne Ableitung hinkriege :)
MfG
Onlineghost
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Hallo Onlineghost,
> Ja, das stimmt, das ist ja die Ableitung davon d.h. die
> Steigung muss gleich sein, mich interessiert aber wie ich
> dass ohne Ableitung hinkriege :)
>
Nun, die Nullstellen der Gleichung kannst Du dann nur
über ein Näherungsverfahren bestimmen.
> MfG
> Onlineghost
Gruss
MathePower
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Das hat doch aber nichts mit Nullstellen zu tun, oder?
Der Gedanke von mit ist folgender, um Schnittpunkte zweier Funktionen zu ermitteln setzt man diese gleich --> f(x)=g(x), dieses Verfahreren möchte ich auch bei dem ermitteln von Berührpunkten anwenden, deshalb das Gleichsetzen ohne Ableitung.
Ich hab ja einen Teil vorgerechnet, aber ich komm dann nicht mehr weiter.
Oder funktioniert das Gleichsetzen nur beim ermitteln von Schnittpunkten??
MfG
Onlineghost
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Hallo,
> Das hat doch aber nichts mit Nullstellen zu tun, oder?
Doch: jede Gleichung lässt sich auf die Nullform bringen, und dann ist es nichts anderes als eine Nullstellenbestimmung.
> Der Gedanke von mit ist folgender, um Schnittpunkte zweier
> Funktionen zu ermitteln setzt man diese gleich -->
> f(x)=g(x), dieses Verfahreren möchte ich auch bei dem
> ermitteln von Berührpunkten anwenden, deshalb das
> Gleichsetzen ohne Ableitung.
> Ich hab ja einen Teil vorgerechnet, aber ich komm dann
> nicht mehr weiter.
Das ist kein Wunder: die Gleichung, welche du hier erhältst, ist transzendent und insbesondere kommt die Variable in der Grund- sowie der Hochzahlebene vor. Solche Gleichungen sind i.a. analytisch nicht lösbar, und es macht in diesem Zusammenhang auch keinerlei Sinn, nach irgendwelchen Tricks wie der LambertW-Funktion zu suchen, um die Lösung ggf. explizit darzustellen.
> Oder funktioniert das Gleichsetzen nur beim ermitteln von
> Schnittpunkten??
Das Gleichsetzen funktioniert immer dann, wenn sich die ergebende Gleichung auf eine algebraische Gleichung von höchstens 4. Ordnung zurückführen lässt. Wobei du 3. u. 4. Ordnung sofort wieder vergessen kannst: in der Schule lernt man nicht umsonst nur zwei Arten von Gleichungen zu lösen: lineare (durch Äquivalentumformungen) sowie quadratische (durch die Mitternachtsformel). Alles andere, was man noch lösen kann, ist ein Sonderfall, und der liegt hier definitiv nicht vor.
Benutze also die Definition der Tangente in der Anlaysis: eine Gerade g ist Tangente an das Schaubild einer Funktion f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] genau dann, wenn
[mm] f(x_0)=g(x_0) [/mm] und [mm] f'(x_0)=g'(x_0)
[/mm]
gelten.
(Dies sichert im übrigen auch ab, dass der Begriff der Wendetangente überhaupt erst einen Sinn bekommt.)
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Do 05.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es ist nicht nach dem "Schnittpunkt gefragt, sondern den Punkt f(x)=0 und g(x)=0 (Schnitt mit y Achse) dass die beide gleich sind bämlich =1 sieht man sofort. deshalb hast du auch eine lösung von f(x)=g(x) direkt durch hinsehen, nämlich x=0.
nach möglichen anderen Lösungen ist nicht gefragt! - die gibts auch nicht-
Gruss leduart
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Keine Panik!
Der Aufgabensteller weiß, dass es schwer ist, die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen zu finden. Deshalb sollst du diese eigentlich gar nicht bestimmen: Du sollst nur bestätigen (!), dass sich beide Graphen auf der y-Achse berühren. Deshalb sollst du nur (!) zeigen:
a) Beide Funktionsgraphen gehen auf der y-Achse durch den selben Punkt.
b) Beide haben dort die selbe Steigung, also auch die selbe Richtung und berühren sich daher nur.
Also musst du nur f(0), g(0), f´(0) und g´(0) ausrechnen (!) und zeigen, dass die entsprechenden Werte gleich sind.
Ob es weitere Schnittpunkte usw. gibt, ist nicht Teil der Aufgabenstellung!
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Hallo,
habe einen Satz vergessen hinzuschreiben, undzwar man solle noch untersuchen ob es unter diesen zwei Funtionen Schnittpunkte gäbe.
Tut mir echt Leid: Also noch der folgende Satz laut der Aufgabe:
Kann es noch weitere Schnittpunkte geben?
Deshalb versuche ich über gleichsetzen den Berührpunk zu ermitteln.
MfG
Onlineghost
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Do 05.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt hast du den einen Schnittpunkt mit gemeinsamer Steigung. wenn jetzt die Steigung der fkt f links immer größer als die von g ist, rechts immer kleiner, können sie sich nicht mehr schneiden, das also musst du nur zeigen, und das ist einfach.
Gruss leduart
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Vielen Dank an euch
MfG
Onlineghost
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