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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] Es gilt bei (b) nur eine Implikation! |
Hallo!
Ich habe (a) zeigen können und anschaulich festgestellt, dass es sich um eine Art Satz des Thales handelt, wenn man den Vektor x praktisch in den Mittelpunkt des Halbkreises zeigt.
Ich habe mit obiger Aufgabe (b) ein Problem (das ist: "Beweisen Sie eine der beiden..."). Ich kann nämlich für unitäre Vektorräume keine der beiden Implikationen beweisen... Sicher übersehe ich irgendetwas, aber ich weiß nicht was. Ich kann es mir auch nicht wirklich veranschaulichen, da das erst ab [mm] \IC^{2} [/mm] gehen würde (meiner Meinung nach).
Meine Versuche:
[mm] (x-y)\perp [/mm] (x+y) heißt ja [mm] = 0[/mm].
(Ist das jetzt eigentlich irgendein Skalarprodukt? Das frage ich mich schon die ganze Zeit bei der Aufgabenstellung)
Man könnte also auch schreiben:
[mm] + + <-y,x> + <-y,y> = 0[/mm]
[mm]\gdw + - - = 0[/mm]
Damit die Behauptung gilt, müsste nun daraus so etwas folgen wie
[mm]\gdw = [/mm].
Das bekomme ich aber nicht hin, weil
[mm] - = - \overline{}[/mm]
meiner Meinung nach in unitären VR nicht 0 sein muss.
Bei der anderen Seite klappt es aber genauso wenig.
Denn aus ||x|| = ||y|| folgt bei mir auch nur
<x,x> = <y,y>
und ich stehe wieder vor demselben Dilemma wie oben.
Meine Vermutungen (vorausgesetzt, dass die Aufgabenstellung nicht lügt), wo meiner Fehler sind:
- Im Umschreiben von ||x|| = ||y|| in Skalarproduktschreibweise? (Übersehe ich etwas)
- Brauche ich einen Trick???
- Kann ich an irgendeiner Stelle bei einer der beiden Beweisrichtungen noch etwas "folgern", aber eben nicht "äquivalent" behandeln?. Denn alle meine Ideen würden ja auch darauf abzielen, dass dann beide Richtungen der Behauptung gelten.
Vielen Dank für Eure Mühe!
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich] Es gilt bei (b) nur eine Implikation!
> Hallo!
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> Ich habe (a) zeigen können und anschaulich festgestellt,
> dass es sich um eine Art Satz des Thales handelt, wenn man
> den Vektor x praktisch in den Mittelpunkt des Halbkreises
> zeigt.
> Ich habe mit obiger Aufgabe (b) ein Problem (das ist:
> "Beweisen Sie eine der beiden..."). Ich kann nämlich für
> unitäre Vektorräume keine der beiden Implikationen
> beweisen... Sicher übersehe ich irgendetwas, aber ich weiß
> nicht was. Ich kann es mir auch nicht wirklich
> veranschaulichen, da das erst ab [mm]\IC^{2}[/mm] gehen würde
> (meiner Meinung nach).
>
> Meine Versuche:
>
> [mm](x-y)\perp[/mm] (x+y) heißt ja [mm] = 0[/mm].
> (Ist das jetzt
> eigentlich irgendein Skalarprodukt? Das frage ich mich
> schon die ganze Zeit bei der Aufgabenstellung)
> Man könnte also auch schreiben:
>
> [mm] + + <-y,x> + <-y,y> = 0[/mm]
>
> [mm]\gdw + - - = 0[/mm]
>
> Damit die Behauptung gilt, müsste nun daraus so etwas
> folgen wie
>
> [mm]\gdw = [/mm].
>
> Das bekomme ich aber nicht hin, weil
>
> [mm] - = - \overline{}[/mm]
>
> meiner Meinung nach in unitären VR nicht 0 sein muss.
> Bei der anderen Seite klappt es aber genauso wenig.
>
> Denn aus ||x|| = ||y|| folgt bei mir auch nur
>
> <x,x> = <y,y>
>
> und ich stehe wieder vor demselben Dilemma wie oben.
>
> Meine Vermutungen (vorausgesetzt, dass die Aufgabenstellung
> nicht lügt), wo meiner Fehler sind:
>
> - Im Umschreiben von ||x|| = ||y|| in
> Skalarproduktschreibweise? (Übersehe ich etwas)
> - Brauche ich einen Trick???
Hmm - ist Pythagoras ein "Trick"?
> - Kann ich an irgendeiner Stelle bei einer der beiden
> Beweisrichtungen noch etwas "folgern", aber eben nicht
> "äquivalent" behandeln?. Denn alle meine Ideen würden ja
> auch darauf abzielen, dass dann beide Richtungen der
> Behauptung gelten.
>
Aus [mm] $x-y\perp [/mm] x+y$ folgt (Pythagoras)
[mm]\parallel 2x\parallel^2 = \parallel (x-y)+(x+y)\parallel^2=\parallel x-y\parallel^2+\parallel x+y\parallel^2[/mm]
aber auch [mm] $y-x\perp [/mm] x+y$ und daher (wieder nach Pythagoras)
[mm]\parallel 2y\parallel^2 = \parallel (y-x)+(x+y)\parallel^2=\parallel y-x\parallel^2+\parallel x+y\parallel^2[/mm]
Da die rechten Seiten gleich sind, müssen auch die linken Seiten [mm] $\parallel 2x\parallel^2$ [/mm] und [mm] $\parallel 2y\parallel^2$ [/mm] gleich sein: also ist [mm] $\parallel x\parallel [/mm] = [mm] \parallel y\parallel$.
[/mm]
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Vielen Dank!
Das habe ich verstanden! Die andere Richtung würde also dann nicht funktionieren, d.h. aus der Längengeichheit der beiden Vektoren x und y folgt in unitären Vektorräumen nicht, dass x+y und x-y zueinander orthogonal sind? Dann wäre nämlich
[mm]||2x||^{2} = ||2y||^{2}[/mm]
[mm]\gdw ||(x-y) + (x+y)|]||^{2} = |(y-x)+(x+y)||^{2}[/mm]
[mm]\gdw ||x-y||^{2} + ||x+y||^{2} + 2*Im() = ||x-y||^{2} + ||x+y||^{2} + 2*Im()[/mm]
Aber das hilft mir nicht besonders weiter, oder?
Wie kann ich genau den Widerspruch feststellen? Die obige Methode zeigt ja höchstens, dass ich es damit nicht machen kann.
Und noch eine Frage  : Waren meine Überlegungen oben "falsch"? Weil es muss doch nicht zwangsweise <x,y> = [mm] \overline{} [/mm] sein, oder?
Vielen Dank für deine (Eure) Mühe
Stefan.
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> Vielen Dank!
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> Das habe ich verstanden! Die andere Richtung würde also
> dann nicht funktionieren, d.h. aus der Längengeichheit der
> beiden Vektoren x und y folgt in unitären Vektorräumen
> nicht, dass x+y und x-y zueinander orthogonal sind? Dann
> wäre nämlich
>
> [mm]||2x||^{2} = ||2y||^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw ||(x-y) + (x+y)|]||^{2} = |(y-x)+(x+y)||^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw ||x-y||^{2} + ||x+y||^{2} + 2*Im() = ||x-y||^{2} + ||x+y||^{2} + 2*Im()[/mm]
>
> Aber das hilft mir nicht besonders weiter, oder?
> Wie kann ich genau den Widerspruch feststellen? Die obige
> Methode zeigt ja höchstens, dass ich es damit nicht machen
> kann.
> Und noch eine Frage : Waren meine Überlegungen oben
> "falsch"? Weil es muss doch nicht zwangsweise <x,y> =
> [mm]\overline{}[/mm] sein, oder?
>
In einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt würde die Umkehrung gelten, denn aus [mm] $\parallel x\parallel=\parallel y\parallel$ [/mm] folgt, wegen
[mm]=\parallel x\parallel^2+2\mathrm{i}\,\mathrm{Im}-\parallel y\parallel^2[/mm]
dass [mm] $x-y\perp [/mm] x+y$ genau dann gilt, wenn [mm] $\mathrm{Im}=0$ [/mm] ist, was im reellen Fall sicher zutrifft. Im komplexen Fall müsste man als Gegenbeispiel für diese Implikationsrichtung somit ein $x$ und $y$ mit [mm] $\parallel x\parallel=\parallel y\parallel$ [/mm] angeben können, für das [mm] $\mathrm{Im}\neq [/mm] 0$ ist.
Ein solches Gegenbeispiel kann man sich aus jedem $y$ mit [mm] $\parallel y\parallel\neq [/mm] 0$ fabrizieren, indem man einfach $x := [mm] \mathrm{i}y$ [/mm] setzt.
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Vielen Dank für deine Hilfe!
Stefan.
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