Runge Kutta < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | In diese Aufgabe wird zur Lösung der Differentialgleciung y'=f(t,y) das folgende VErfahren betrachtet:
(1) [mm] y_{n+\bruch{1}{2}}=y_n+\bruch{h}{2}
[/mm]
(2) [mm] y_{n+1}=y_n+hf(t_n+\bruch{h}{2},y_{n+\bruch{1}{2}})
[/mm]
Zeige, dass das Vefahren als explizite Runge Kutta Verfahren aufgefasst werden kann.Geben Sie die Runge Kutta Koeffizientan an.
Bestimme die Ordnung des VErfahren |
Hallo
Ich habe mal wieder Problem mit den Runge Kutta verfahren. Im ersten Moment habe ich geglaubt verstanden zu haben obwohl es mir von Mathepower sehr gut schritt für schritt an einen Besiepiel erklärt wurde (Danke nochmals dafür!), aber sobald ich eine Aufgabe zu diesen VErfahren lösen muss, habe ich einen Schwarzes Brett vor dem Kopf und weiß garnicht wie ich dann anfangen soll.
dann kommt noch dazu, dass im Index eine bruch steht, sodass ich garnicht weiter weiß wie ich anfangen soll.
Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
Ich habe folgende Formel:
[mm] y_1=y_0+h\sum_{i=1}^{s}b_iY'_i
[/mm]
mit [mm] Y'_i=f(t_0+c_ih,Y_i)
[/mm]
ICh hätte jetzt
(1) in (2) eingesetzt,s.d ich folgendes erhalte
[mm] y_{n+1}=y_n+hf(t_n+\bruch{h}{2},\underbrace{y_n+\bruch{h}{2}f(t_n,y_n)}_{Y_2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow Y_2=y_0+\bruch{h}{2}\underbrace{f(t_0,f_0)}_{Y'_1}
[/mm]
ich erhalte dann für [mm] a_{21}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow Y'_1=f(t_0,y_0)
[/mm]
[mm] Y_1=y_0 [/mm]
Dann würde ich [mm] Y_1=y_0
[/mm]
[mm] Y'_1=f(t_0,y_0)
[/mm]
d.h ich würde erhalten für butcher- tableau :
[mm] c_1=0, c_2=1/2 [/mm] , [mm] a_{11}=a_{22}=a_{12}=0, a_{21}=1/2 [/mm] , [mm] b_1=1/2 [/mm] und [mm] b_2=0 [/mm]
Würde es damit gezeigt, dass es sich in expliziten RK-VErfahren schreiben lässt?
aber irgendwie stimmt es einerseits auch nicht, da ich bei der Ordnung das verfahren nicht mal Ordnung ein 1 hat:
Ordnung1: [mm] b_1+b_2=1/2\not=1
[/mm]
Ich bin für jedem hinweis wirklich dankbar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 19.02.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur Ordnung des Verfahrens verssteh ich nicht, dass du die b benutzt.
sieh die recht gute Erklärung in
http://www.icp.uni-stuttgart.de/~hilfer/lehre/100-online/skriptum/html_book00/node103.html
dort auch die Ordnung
zur Idee des Vefahrens:
1. das Eulerfefahren kennst du? in Worten man geht vom Punkt [mm] y_n [/mm] mit der Steigung [mm] f(t_n,y_n) [/mm] einen Schritt auf der Tangente um [mm] y_{n+1} [/mm] zu erreichen.
jetzt das Runge Kutta 2. Art. was hier vorliegt. auch Halbschrittverfahren genannt
man geht mit der Anfangssteigung [mm] y_n'=f((t_n,y_n) [/mm] einen halben Eulerschrit weit, errechnet damit y' [mm] (t_n+h/2)
[/mm]
und geht dann mit dieser (mittleren Steigung) einen ganzen Schritt weit.
das butcher tableu dazu unter Runge Kutta 2 in wiki
Gruß leduart
|
|
|
|
