Runge-Kutta-Verfahren (Mittelp < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Sa 23.06.2012 | | Autor: | sbr3 |
| Aufgabe | Der Trainer möchte die Leistungsfähigkeit der einzelnen Spieler quantifizieren: Die Funktion y stellt den Leistungsstand eines Spielers in Abhängigkeit des Spieltages x dar. Da der Trainer früher einmal Mathematik studiert hat, stellt er eine Differenzialgleichung für y auf, diese lautet
xy' + 2y - [mm] \frac{1}{x} [/mm] = 0
Am ersten Spieltag ist der Leistungsstand gleich 2: y(1) = 2.
Bestimmen Sie mithilfe der Mittelpunktmethode eine Näherung an den Wert y(2); benutzen Sie dabei die Schrittweite h = 0,5. |
Laut Aufgabenstellung muss ich die Mittelpunktmethode anwenden.
Definition:
Das zur Anfangswertaufgabe
y'(x) = [mm] f(x,y),y(x_0)=y_0
[/mm]
gehörende Runge-Kutta-Verfahren zweiter Ordnung
[mm] x_{i+1}=x_i [/mm] + h
[mm] y_{i+1}=y_i+h f\left(x_i+\frac{h}{2}, y_i+\frac{h}{2} f(x_i,y_i) \right) [/mm]
i=0,1,...,N-1
heisst Mittelpunktmethode.
Nun mein Ansatz:
ich stelle die Formel des Anfangswertproblems in die Form y'=f(x,y) um:
xy' + 2y - [mm] \frac{1}{x} [/mm] = 0 /-2y und *1/x
y' = f(x,y) = [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] - [mm] \frac{2y}{x} [/mm]
Nun setze ich y' = f(x,y) = [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] - [mm] \frac{2y}{x} [/mm] in [mm] y_{i+1}=y_i+h f\left(x_i+\frac{h}{2}, y_i+\frac{h}{2} f(x_i,y_i) \right) [/mm] ein.
Das Ergebnis lautet:
[mm] y_{i+1}=y_i+\frac{1}{2} \left(\frac{1}{(x_{i}+\frac{1}{4})^{2}} - \frac{2\cdot (y_{i}+\frac{1}{4}(\frac{1}{x^{2}}-\frac{2y}{x}) }{x_{i}+\frac{1}{4} } \right) [/mm]
wenn ich nun die Anfangswerte [mm] y_{0}=2 [/mm] und [mm] x_{0}=1 [/mm] in die obige Gleichung einsetze, dann bekomme ich für [mm] y_{1}=1,32
[/mm]
Zur Kontrolle führe ich das Heunsche Verfahren durch:
Allgemein: [mm] y_{i+1}=y_i+\frac{h}{4} \left[f(x_{i},y_{i}) +3f\left(x_{i}+\frac{2h}{3}, y_{i}+ \frac{2h}{3} f(x_{i},y_{i}) \right) \right]
[/mm]
Nun setze ich y' = f(x,y) = [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] - [mm] \frac{2y}{x} [/mm] ein.
Ergebnis:
[mm] y_{i+1}=y_i+\frac{1}{8} \left[\frac{1}{x^{2}}-\frac{2y}{x} +3\left(\frac{1}{(x_{i}+\frac{1}{3})^{2} } -\frac{2\left(y_{i}+\frac{1}{3}(\frac{1}{x^{2}}-\frac{2y}{x}) \right) }{x_{i}+\frac{1}{3} } \right) \right]
[/mm]
wenn ich nun die Anfangswerte [mm] y_{0}=2 [/mm] und [mm] x_{0}=1 [/mm] in die obige Gleichung einsetze, dann bekomme ich für [mm] y_{1}=1,27 [/mm]
Nun meine Fragen:
- Sollten die Ergebnisse von Mittelpunktmethode und dem Heunschen Verfahren nicht identisch sein?
- Ist mein Ansatz der Aufgabe in der Form korrekt? Die Form y' = [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] - [mm] \frac{2y}{x} [/mm] sieht mir irgendwie "Falsch" aus, denn durch das x im Nenner verkompliziert sich die Sache um einiges...
Weiter:
Leider habe ich die Aufgabe noch nicht ganz verstanden:
- Anfangs habe ich Mittelpunktsmethode und das Heunsche Verfahren angewendet, um das AWP näherungsweise zu lösen.
- Nun habe ich zwei näherungsweise Lösungen, aber keine exakte Lösung zur Kontrolle auf richtigkeit der ersten beiden
Folgende überlegung:
- Ermittlung der eindeutigen Lösung:
[mm] y(x)=\frac {c_{1}+x}{x^2}
[/mm]
Mit y(1)=2[/latex] ist [latex] [mm] c_{1} [/mm] = 1
Die exakte Lösung des AWP sollte nun also [mm] [latex]y(x)=\frac {x+1}{x^2} [/mm] sein, und somit würde für y(2)=0,75 rauskommen.
Nun steh ich also vor dem folgenden Problem:
[mm] y_{exakt }(2)=0,75
[/mm]
[mm] y_{Mittelpunktmethode}(2)=1,32
[/mm]
[mm] y_{Heun }(2)=1,27
[/mm]
[mm] \Rightarrow y_{exakt}(x) \approx \frac{1}{y_{Mittelpunktmethode}(x)}
[/mm]
Ich habe die Aufgabe immer und immer wieder durchgerechnet und kam immer wieder zu den gleichen Ergebnissen. Also legte ich meine Mathesachen nun für paar Tage bei Seite, und hab heute das ganze wieder durchgerechnet... und wieder komm ich zum gleichen Ergebnis.
Sind die reziproken Ergebnisse nun purer Zufall, oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Oder habe ich gar etwas Grundlegendes dieser Thematik und dieser Aufgabenstellung nicht verstanden?
Hinweis: Cross Posting
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=495349
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Sa 23.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. um bei x=2 anzukoommen brauchst du 2 Schritte der Länge 0.5
du hast also mit dem Mittelpkt Verfahren eine Näherung bei x=1.5. d.h. [mm] y_1=f(x_0+h) [/mm] berechnet in die exakte Lösung aber x=2 eingesetzt.
2.h=0.5 ist ziemlich grob, also kannst du kein sehr genaues Ergebnis erwarten!
3. verschiedene numerische Verfahren liefern nur für h gegen 0 Ergebnisse, die etwa denselben Fehler haben,
mach dir die 2 Verfahren graphisch klar, dann siehst du, dass sie verschiedene Ergebnisse liefern MüSSEN.
also musst du einen weiteren Schritt rechnen,
Wenn du was zusätzliches tun willst rechne zum vergleich 4 Schritte, also h=0.25 nd du siehst dass es genauer wird.
wenn du programmieren oder wenigstens Exel kannst schreib dir ein miniprogramm und rechne mit verschiedenen h
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Sa 23.06.2012 | | Autor: | sbr3 |
viel dank für die rasche antwort!
das mit den 2 schritten bis x=2 ist mir einfach nicht aufgefallen... also vielen dank fuer den tipp!
einmal kurz in excel eingetippt und schon war mir mein denkfehler auf den ersten blick klar...
h=0.5
x y_exakt y_mittel |y_exakt-y_mittel)|
1 2.000000 2.000000 0.000000
1.5 1.111111 1.320000 0.208889
2 0.750000 0.916916 0.166916
2.5 0.560000 0.682265 0.122265
3 0.444444 0.535358 0.090914
gruss sbr3
|
|
|
|
